Maths – Combination Questions

Combination

8 व्यक्तियों के समूह में से 5 व्यक्तियों को चुनकर कितने समूह बनाए जा सकते हैं?

Explanation: यह संयोजन का सीधा सवाल है। सूत्र C(8,5) = 8!/(5!×3!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 56.

कुल 7 पुरुषों और 3 महिलाओं में से कितनी तरह से 5 पुरुष और 2 महिलाओं का समूह बनाया जा सकता है?

Explanation: 7 में से 5 पुरुष चुनने के तरीके = C(7,5) = 21. 3 में से 2 महिलाएं चुनने के तरीके = C(3,2) = 3. कुल तरीके = 21 × 3 = 63.

5 पुरुष और 5 महिला खिलाड़ियों में से 6 खिलाड़ियों की कितनी अलग-अलग टीम बनाई जा सकती है?

300
240
210
180

Explanation: कुल 10 खिलाड़ी हैं। इनमें से 6 चुनने हैं। C(10,6) = C(10,4) = (10×9×8×7)/(4×3×2×1) = 210.

6 लड़कों व 4 लड़कियों के एक समूह में से 4 बच्चों को कितने समूह बनाए जा सकते हैं, यदि समूह में कम से कम एक लड़का अवश्य हो?

159
209
194
185

Explanation: कुल समूह = C(10,4) = 210. बिना लड़के वाले समूह (सभी 4 लड़कियां) = C(4,4) = 1. अतः अभीष्ट समूह = 210 – 1 = 209.

यदि दो विशेष लड़कों को हमेशा चुना जाना है, तो कुल 11 लड़कों में से 6 लड़कों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

126
216
240
120

Explanation: दो लड़के पहले ही चुन लिए गए। अब शेष 9 लड़कों में से 4 लड़के चुनने हैं। C(9,4) = 126.

यदि दो विशेष लड़कों को कभी नहीं चुना जाना है, तो कुल 11 लड़कों में से 6 लड़कों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

Explanation: दो विशेष लड़कों को हटा दें। शेष 9 लड़कों में से 6 चुनने हैं। C(9,6) = C(9,3) = 84.

एक कक्षा में 5 लड़के और 4 लड़कियां हैं। हमें तीन छात्रों का चयन करना है। दो लड़के और एक लड़की चुनने के कितने तरीके हैं?

Explanation: 5 में से 2 लड़के = C(5,2) = 10. 4 में से 1 लड़की = C(4,1) = 4. कुल तरीके = 10 × 4 = 40.

एक कक्षा में 5 लड़के और 4 लड़कियां हैं। हमें तीन छात्रों का चयन करना है। कोई लड़की न हो (सभी लड़के हों) तो कितने तरीके हैं?

Explanation: 5 में से 3 लड़के चुनने हैं = C(5,3) = 10.

एक कक्षा में 5 लड़के और 4 लड़कियां हैं। हमें तीन छात्रों का चयन करना है। कम से कम एक लड़की मौजूद रहे, तो कितने तरीके हैं?

Explanation: कुल तरीके = C(9,3) = 84. बिना लड़की वाले (सभी लड़के) = C(5,3) = 10. अतः अभीष्ट = 84 – 10 = 74.

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। सभी गेंदें अलग-अलग रंगों की हों, तो कितने तरीके हैं?

120
100
130
110

Explanation: एक काली (4 में से), एक लाल (5 में से), एक हरी (6 में से) = 4 × 5 × 6 = 120.

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। सभी गेंदें एक ही रंग की हों, तो कितने तरीके हैं?

Explanation: सभी काली = C(4,3) = 4. सभी लाल = C(5,3) = 10. सभी हरी = C(6,3) = 20. योग = 4 + 10 + 20 = 34.

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। कोई गेंद लाल न हो, तो कितने तरीके हैं?

100
110
130
120

Explanation: लाल को हटा दें। बचीं 4 काली + 6 हरी = 10 गेंदें। इनमें से 3 चुननी हैं = C(10,3) = 120.

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। कम से कम एक लाल गेंद हो, तो कितने तरीके हैं?

270
280
290
335

Explanation: कुल तरीके = C(15,3) = 455. बिना लाल वाले तरीके = C(10,3) = 120. अतः अभीष्ट = 455 – 120 = 335. (नोट: विकल्पों में त्रुटि हो सकती है, सही उत्तर 335 है।)

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। बिल्कुल एक हरी गेंद हो, तो कितने तरीके हैं?

220
216
230
240

Explanation: 1 हरी (6 में से) और 2 गैर-हरी (4 काली+5 लाल = 9 में से) = C(6,1) × C(9,2) = 6 × 36 = 216.

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। अधिकतम 2 हरी गेंद हों, तो कितने तरीके हैं?

455
445
435
425

Explanation: कुल तरीके = C(15,3) = 455. तीनों हरी होने के तरीके = C(6,3) = 20. अतः अभीष्ट = 455 – 20 = 435.

एक आदमी के 12 दोस्त हैं: 6 लड़के और 6 लड़कियां। वह उन्हें कितने तरीकों से आमंत्रित कर सकता है, यदि निमंत्रण में ठीक 4 लड़कियां हों?

1080
960
720
640

Explanation: 6 में से 4 लड़कियां चुननी हैं = C(6,4) = 15. शेष 2 सदस्य लड़कों में से चुनने हैं = C(6,2) = 15. कुल तरीके = 15 × 15 = 225. (नोट: विकल्पों में त्रुटि हो सकती है, सही उत्तर 225 है।)

3 ट्रेनी, 4 प्रोफेसर एवं 6 रिसर्च एसोसिएट से 5 सदस्यों की एक कमेटी बनानी है। यह कितने प्रकार से बनाई जा सकती है यदि 4 प्रोफेसर एवं 1 रिसर्च एसोसिएट या 3 ट्रेनी एवं 2 प्रोफेसर से कमेटी बनाई जाए?

Explanation: पहली स्थिति: 4 प्रोफेसर (C(4,4)=1) और 1 रिसर्च (C(6,1)=6) = 1×6 = 6. दूसरी स्थिति: 3 ट्रेनी (C(3,3)=1) और 2 प्रोफेसर (C(4,2)=6) = 1×6 = 6. कुल = 6 + 6 = 12.

एक भ्रमण करती हुई क्रिकेट टीम में 16 खिलाड़ी है, जिसमें 5 गेंदबाज तथा 2 विकेट कीपर हैं। इनमें से 11 खिलाड़ियों की ऐसी कितनी टीमें चुनी जा सकती है जिसमें तीन गेंदबाज तथा एक विकेट कीपर हो?

650
720
750
800

Explanation: हमें 5 गेंदबाजों में से 3 गेंदबाज चुनने हैं (5C3 = 10 तरीके), 2 विकेट कीपरों में से 1 विकेट कीपर चुनना है (2C1 = 2 तरीके), और शेष 11 खिलाड़ी (16 – 5 – 2 = 9) में से 7 खिलाड़ी चुनने हैं (9C7 = 9C2 = 36 तरीके). इसलिए, कुल वांछित टीमें = 10 * 2 * 36 = 720.

4 अधिकारियों एवं 8 जवानों में से 6 व्यक्ति कुल कितने प्रकार से चुने जा सकते हैं यदि कम से कम एक अधिकारी को अवश्य शामिल किया जाए?

224
672
896
None of these

Explanation: बिना किसी शर्त के कुल 12 में से 6 व्यक्ति चुनने के तरीके = 12C6 = 924. बिना एक भी अधिकारी (यानि सिर्फ जवानों में से) 6 व्यक्ति चुनने के तरीके = 8C6 = 8C2 = 28. अतः कम से कम एक अधिकारी वाले तरीके = 924 – 28 = 896.

पार्टी में 30 लोग हैं. यदि सभी को एक दूसरे से हाथ मिलाना हो, तो कितने हाथ मिलाना संभव है?

900
870
450
435

Explanation: दो अलग-अलग लोगों के बीच एक हाथ मिलान होता है। अतः 30 लोगों में से 2 लोगों को चुनने के कुल तरीके = 30C2 = (30*29)/2 = 435.

किसी पार्टी में प्रत्येक व्यक्ति ने शेष व्यक्तियों से हाथ मिलाए । यदि 28 बार हाथ मिलाए गये हो तो उस पार्टी में कितने व्यक्ति मौजूद हैं ?

Explanation: माना पार्टी में n व्यक्ति हैं। कुल हाथ मिलाने की संख्या = nC2 = n(n-1)/2 = 28. इसलिए n(n-1) = 56. n=8 के लिए, 8*7=56. अतः सही उत्तर 8 है.

एक शतरंज प्रतियोगिता में स्कूल के कुछ लड़के और लड़कियां शामिल हैं। प्रत्येक विद्यार्थी को प्रत्येक विद्यार्थी के साथ ठीक एक खेल खेलना था। यह पाया गया कि 210 खेलों में दोनों खिलाड़ी लड़कियां थीं, और 435 खेलों में दोनों लड़के थे। उन खेलों की संख्या जिनमें एक खिलाड़ी लड़का था और दूसरी लड़की थी:

600
609
580
630

Explanation: माना लड़कियों की संख्या g है। तब gC2 = 210 => g(g-1)/2 = 210 => g(g-1)=420 => g=21. माना लड़कों की संख्या b है। तब bC2 = 435 => b(b-1)/2 = 435 => b(b-1)=870 => b=30. लड़के-लड़की के बीच खेलों की संख्या = b * g = 30 * 21 = 630.

“SWITCH” शब्द के अक्षरों से कितने 3 अक्षर वाले शब्द बन सकते हैं? (बिना पुनरावृत्ति के)

120
60
24
120

Explanation: “SWITCH” शब्द में 6 अलग-अलग अक्षर हैं। इनमें से 3 अक्षर चुनकर उन्हें व्यवस्थित करना है। यह क्रमचय (Permutation) होगा: 6P3 = 6*5*4 = 120.

दो जगहों A और B के बीच 12 बसें चल रही हैं। एक परिवार कितने तरीकों से A से B जा सकता है और दूसरी बस से वापस आ सकता है?

156
144
132
120

Explanation: A से B जाने के लिए 12 में से कोई भी एक बस चुनी जा सकती है (12 तरीके)। वापस आने के लिए उसी बस को छोड़कर शेष 11 बसों में से कोई एक बस चुनी जा सकती है (11 तरीके)। इसलिए, कुल तरीके = 12 * 11 = 132.

अंकों 1 , 2, 3, से दो अंकों की कितनी संख्याएँ बनेगी, यदि पुनरावृत्ति ना हो।

Explanation:

यदि दोहराव की अनुमति नहीं हो तो अंकों 2,3,4,5 और 6 से 3 अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

Explanation: कुल 5 अंक हैं (2,3,4,5,6). 3 अंकों की संख्या बनानी है, बिना पुनरावृत्ति के। यह 5P3 के बराबर है = 5 * 4 * 3 = 60.

अंकों 1 ,2,3,4,5, से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनेगी, जो 2 से विभाजित होती हो तथा पुनरावृत्ति ना हो।

Explanation:

अंकों 1,2,3,4,5,6,7,8 से चार अंकों की कितनी सम संख्याएँ बनायी जा सकती हैं, यदि पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए?

168
840
742
843

Explanation: सम संख्या के लिए इकाई का स्थान (2,4,6,8) अर्थात 4 तरीके। शेष 3 स्थानों को शेष 7 अंकों से भरना है = 7×6×5 = 210। कुल संख्याएँ = 4 × 210 = 840.

अंकों 1,2,3,4,5,6 से पाँच अंकों की कितनी विषम संख्याएँ बनायी जा सकती हैं, यदि पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए?

Explanation: विषम संख्या के लिए इकाई का स्थान (1,3,5) अर्थात 3 तरीके। शेष 4 स्थानों को शेष 5 अंकों से भरना है = 5×4×3×2 = 120। कुल संख्याएँ = 3 × 120 = 360.

अंकों 1,2,3,4 से चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनेगी, जो 4 से विभाजित होती हों तथा पुनरावृत्ति ना हो?

Explanation: 4 से विभाज्यता के लिए अंतिम दो अंकों से बनी संख्या का 4 से विभाज्य होना आवश्यक है। संभावित अंतिम दो अंक (12, 24, 32) हैं। प्रत्येक स्थिति में शेष 2 स्थानों को शेष 2 अंकों से भरना है = 2! = 2। कुल संख्याएँ = 3 × 2 = 6.

अंकों 1,2,3,4,5 से पाँच अंकों की कितनी संख्याएँ बनेगी, जो 4 से विभाजित होती हों तथा पुनरावृत्ति ना हो?

Explanation: 4 से विभाज्यता के लिए अंतिम दो अंक (12, 24, 32, 52) संभव हैं। प्रत्येक स्थिति में शेष 3 स्थान शेष 3 अंकों से भरने हैं = 3! = 6। कुल संख्याएँ = 4 × 6 = 24.

अंकों 2,3,4,5,6,8,9 से कितनी 4 अंकों की सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

720
480
360
120

Explanation: सम संख्या के लिए इकाई का स्थान (2,4,6,8) अर्थात 4 तरीके। शेष 3 स्थानों को शेष 6 अंकों से भरना है = 6×5×4 = 120। कुल संख्याएँ = 4 × 120 = 480.

यदि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो तो अंकों 2,3,5,7,8 से 4 से विभाज्य कितनी 3 अंकों की संख्याएँ बन सकती हैं?

Explanation: 3 अंकों की संख्या के लिए 4 से विभाज्यता हेतु अंतिम दो अंक (28, 32, 52, 72) संभव हैं। प्रत्येक स्थिति में शेष पहला स्थान शेष 3 अंकों से भरना है = 3 तरीके। कुल संख्याएँ = 4 × 3 = 12.