Maths – Combination Questions

Combination|MATHS

8 व्यक्तियों के समूह में से 5 व्यक्तियों को चुनकर कितने समूह बनाए जा सकते हैं?

Explanation:

यह संयोजन का सीधा सवाल है।
सूत्र: \(C(8,5) = \frac{8!}{5! \times 3!}\)
\(C(8,5) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} =\) 56

कुल 7 पुरुषों और 3 महिलाओं में से कितनी तरह से 5 पुरुष और 2 महिलाओं का समूह बनाया जा सकता है?

Explanation:

7 में से 5 पुरुष चुनने के तरीके = \(C(7,5) = C(7,2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
3 में से 2 महिलाएं चुनने के तरीके = \(C(3,2) = 3\)
कुल तरीके = \(21 \times 3 =\) 63

5 पुरुष और 5 महिला खिलाड़ियों में से 6 खिलाड़ियों की कितनी अलग-अलग टीम बनाई जा सकती है?

300
240
210
180

Explanation:

कुल खिलाड़ी = 5 + 5 = 10
10 में से 6 चुनने के तरीके = \(C(10,6) = C(10,4)\)
\(C(10,4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} =\) 210

6 लड़कों व 4 लड़कियों के एक समूह में से 4 बच्चों को कितने समूह बनाए जा सकते हैं, यदि समूह में कम से कम एक लड़का अवश्य हो?

159
209
194
185

Explanation:

कुल समूह = \(C(10,4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210\)
बिना लड़के वाले समूह (सभी 4 लड़कियां) = \(C(4,4) = 1\)
अभीष्ट समूह = 210 – 1 = 209

यदि दो विशेष लड़कों को हमेशा चुना जाना है, तो कुल 11 लड़कों में से 6 लड़कों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

126
216
240
120

Explanation:

दो विशेष लड़कों का चयन निश्चित है।
शेष 9 लड़कों में से 4 लड़के चुनने हैं = \(C(9,4)\)
\(C(9,4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} =\) 126

यदि दो विशेष लड़कों को कभी नहीं चुना जाना है, तो कुल 11 लड़कों में से 6 लड़कों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

Explanation:

दो विशेष लड़कों को हटा देने पर शेष लड़के = 9
9 लड़कों में से 6 चुनने के तरीके = \(C(9,6) = C(9,3)\)
\(C(9,3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} =\) 84

एक कक्षा में 5 लड़के और 4 लड़कियां हैं। हमें तीन छात्रों का चयन करना है। दो लड़के और एक लड़की चुनने के कितने तरीके हैं?

Explanation:

5 में से 2 लड़के चुनने के तरीके = \(C(5,2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
4 में से 1 लड़की चुनने के तरीके = \(C(4,1) = 4\)
कुल तरीके = \(10 \times 4 =\) 40

एक कक्षा में 5 लड़के और 4 लड़कियां हैं। हमें तीन छात्रों का चयन करना है। कोई लड़की न हो (सभी लड़के हों) तो कितने तरीके हैं?

Explanation:

कोई लड़की न होने का अर्थ है कि सभी 3 छात्र लड़के हों।
5 लड़कों में से 3 लड़के चुनने के तरीके = \(C(5,3) = C(5,2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} =\) 10

एक कक्षा में 5 लड़के और 4 लड़कियां हैं। हमें तीन छात्रों का चयन करना है। कम से कम एक लड़की मौजूद रहे, तो कितने तरीके हैं?

Explanation:

कुल 9 छात्रों में से 3 छात्र चुनने के तरीके = \(C(9,3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84\)
बिना लड़की वाले (सभी लड़के) तरीके = \(C(5,3) = 10\)
कम से कम एक लड़की वाले तरीके = 84 – 10 = 74

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। सभी गेंदें अलग-अलग रंगों की हों, तो कितने तरीके हैं?

120
100
130
110

Explanation:

प्रत्येक रंग से एक गेंद चुनी जानी है।
1 काली (4 में से), 1 लाल (5 में से), 1 हरी (6 में से) = \(4 \times 5 \times 6 =\) 120

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। सभी गेंदें एक ही रंग की हों, तो कितने तरीके हैं?

Explanation:

सभी काली = \(C(4,3) = 4\)
सभी लाल = \(C(5,3) = 10\)
सभी हरी = \(C(6,3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\)
कुल तरीके = 4 + 10 + 20 = 34

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। कोई गेंद लाल न हो, तो कितने तरीके हैं?

100
110
130
120

Explanation:

लाल गेंदों को छोड़कर शेष गेंदें = 4 (काली) + 6 (हरी) = 10 गेंदें
10 गेंदों में से 3 चुनने के तरीके = \(C(10,3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} =\) 120

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। कम से कम एक लाल गेंद हो, तो कितने तरीके हैं?

270
280
290
335

Explanation:

कुल गेंदें = 4 + 5 + 6 = 15; कुल तरीके = \(C(15,3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455\)
बिना लाल गेंद वाले तरीके = \(C(10,3) = 120\)
कम से कम एक लाल गेंद होने के तरीके = 455 – 120 = 335

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। बिल्कुल एक हरी गेंद हो, तो कितने तरीके हैं?

220
216
230
240

Explanation:

1 हरी गेंद चुनने के तरीके = \(C(6,1) = 6\)
2 गैर-हरी गेंदें (4 काली + 5 लाल = 9 में से) चुनने के तरीके = \(C(9,2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36\)
कुल तरीके = \(6 \times 36 =\) 216

4 काली, 5 लाल और 6 हरी गेंदें हैं। हमें 3 गेंदों का चयन करना है। अधिकतम 2 हरी गेंद हों, तो कितने तरीके हैं?

455
445
435
425

Explanation:

कुल तरीके = \(C(15,3) = 455\)
तीनों हरी गेंद होने के तरीके = \(C(6,3) = 20\)
अधिकतम 2 हरी गेंद होने के तरीके = 455 – 20 = 435

एक आदमी के 12 दोस्त हैं: 6 लड़के और 6 लड़कियां। वह उन्हें कितने तरीकों से आमंत्रित कर सकता है, यदि निमंत्रण में ठीक 4 लड़कियां हों?

1080
960
720
640

Explanation:

6 में से ठीक 4 लड़कियां चुनने के तरीके = \(C(6,4) = 15\)
6 लड़कों में से कोई भी संख्या (0 से 6 तक) आमंत्रित की जा सकती है = \(2^6 = 64\) तरीके
कुल तरीके = \(15 \times 64 =\) 960
(यदि कुल 6 लोगों का निमंत्रण हो, तो तरीके \(C(6,4) \times C(6,2) = 15 \times 15 = 225\) होते हैं।)

3 ट्रेनी, 4 प्रोफेसर एवं 6 रिसर्च एसोसिएट से 5 सदस्यों की एक कमेटी बनानी है। यह कितने प्रकार से बनाई जा सकती है यदि 4 प्रोफेसर एवं 1 रिसर्च एसोसिएट या 3 ट्रेनी एवं 2 प्रोफेसर से कमेटी बनाई जाए?

Explanation:

स्थिति 1: 4 प्रोफेसर एवं 1 रिसर्च एसोसिएट \(= C(4,4) \times C(6,1) = 1 \times 6 = 6\)
स्थिति 2: 3 ट्रेनी एवं 2 प्रोफेसर \(= C(3,3) \times C(4,2) = 1 \times 6 = 6\)
कुल तरीके = 6 + 6 = 12

एक भ्रमण करती हुई क्रिकेट टीम में 16 खिलाड़ी है, जिसमें 5 गेंदबाज तथा 2 विकेट कीपर हैं। इनमें से 11 खिलाड़ियों की ऐसी कितनी टीमें चुनी जा सकती है जिसमें तीन गेंदबाज तथा एक विकेट कीपर हो?

650
720
750
800

Explanation:

5 गेंदबाजों में से 3 गेंदबाज चुनने के तरीके = \(C(5,3) = 10\)
2 विकेटकीपरों में से 1 चुनने का तरीका = \(C(2,1) = 2\)
शेष खिलाड़ी = 16 – 5 – 2 = 9 खिलाड़ी। इनमें से 7 चुनने के तरीके = \(C(9,7) = C(9,2) = 36\)
कुल तरीके = \(10 \times 2 \times 36 =\) 720

4 अधिकारियों एवं 8 जवानों में से 6 व्यक्ति कुल कितने प्रकार से चुने जा सकते हैं यदि कम से कम एक अधिकारी को अवश्य शामिल किया जाए?

224
672
896
None of these

Explanation:

बिना किसी शर्त के कुल 12 में से 6 व्यक्ति चुनने के तरीके = \(C(12,6) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924\)
बिना अधिकारी वाले तरीके (केवल जवानों में से 6 व्यक्ति) = \(C(8,6) = C(8,2) = 28\)
कम से कम एक अधिकारी वाले तरीके = 924 – 28 = 896

पार्टी में 30 लोग हैं. यदि सभी को एक दूसरे से हाथ मिलाना हो, तो कितने हाथ मिलाना संभव है?

900
870
450
435

Explanation:

प्रत्येक हाथ मिलान दो व्यक्तियों के बीच होता है।
कुल तरीके = \(C(30,2) = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} =\) 435

किसी पार्टी में प्रत्येक व्यक्ति ने शेष व्यक्तियों से हाथ मिलाए । यदि 28 बार हाथ मिलाए गये हो तो उस पार्टी में कितने व्यक्ति मौजूद हैं ?

Explanation:

माना व्यक्तियों की संख्या \(n\) है।
\(C(n,2) = \frac{n(n-1)}{2} = 28 \implies n(n-1) = 56\)
\(n = 8\) रखने पर \(8 \times 7 = 56\)। अतः कुल व्यक्ति = 8

एक शतरंज प्रतियोगिता में स्कूल के कुछ लड़के और लड़कियां शामिल हैं। प्रत्येक विद्यार्थी को प्रत्येक विद्यार्थी के साथ ठीक एक खेल खेलना था। यह पाया गया कि 210 खेलों में दोनों खिलाड़ी लड़कियां थीं, और 435 खेलों में दोनों लड़के थे। उन खेलों की संख्या जिनमें एक खिलाड़ी लड़का था और दूसरी लड़की थी:

600
609
580
630

Explanation:

लड़कियों के बीच खेल: \(C(g,2) = 210 \implies \frac{g(g-1)}{2} = 210 \implies g(g-1) = 420 \implies g = 21\)
लड़कों के बीच खेल: \(C(b,2) = 435 \implies \frac{b(b-1)}{2} = 435 \implies b(b-1) = 870 \implies b = 30\)
एक लड़का और एक लड़की के बीच कुल खेल = \(b \times g = 30 \times 21 =\) 630

“SWITCH” शब्द के अक्षरों से कितने 3 अक्षर वाले शब्द बन सकते हैं? (बिना पुनरावृत्ति के)

120
60
24
120

Explanation:

“SWITCH” शब्द में कुल 6 अद्वितीय अक्षर हैं।
3 अक्षर वाले शब्द बनाने के कुल तरीके = \(P(6,3) = 6 \times 5 \times 4 =\) 120

दो जगहों A और B के बीच 12 बसें चल रही हैं। एक परिवार कितने तरीकों से A से B जा सकता है और दूसरी बस से वापस आ सकता है?

156
144
132
120

Explanation:

A से B जाने के लिए उपलब्ध बसें = 12
B से A वापस आने के लिए उपलब्ध बसें (उसी बस को छोड़कर) = 11
कुल तरीके = \(12 \times 11 =\) 132

अंकों 1 , 2, 3, से दो अंकों की कितनी संख्याएँ बनेगी, यदि पुनरावृत्ति ना हो।

Explanation:

कुल अंक = 3 (1, 2, 3)
2 अंकों की संख्याएँ बनाने के तरीके = \(P(3,2) = 3 \times 2 =\) 6

यदि दोहराव की अनुमति नहीं हो तो अंकों 2,3,4,5 और 6 से 3 अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

Explanation:

कुल उपलब्ध अंक = 5
3 अंकों की संख्या बनाने के तरीके = \(P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 =\) 60

अंकों 1 ,2,3,4,5, से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनेगी, जो 2 से विभाजित होती हों तथा पुनरावृत्ति ना हो।

Explanation:

2 से विभाज्य होने के लिए इकाई स्थान पर सम अंक (2 या 4) होना चाहिए = 2 तरीके
इकाई स्थान भरने के बाद शेष 2 स्थानों को शेष 4 अंकों में से चुना जाएगा = \(4 \times 3 = 12\) तरीके
कुल संख्याएँ = \(2 \times 12 =\) 24

अंकों 1,2,3,4,5,6,7,8 से चार अंकों की कितनी सम संख्याएँ बनायी जा सकती हैं, यदि पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए?

168
840
742
843

Explanation:

सम संख्या के लिए इकाई का स्थान 2, 4, 6, या 8 होना चाहिए = 4 तरीके
शेष 3 स्थानों को बचे 7 अंकों से भरने के तरीके = \(7 \times 6 \times 5 = 210\)
कुल संख्याएँ = \(4 \times 210 =\) 840

अंकों 1,2,3,4,5,6 से पाँच अंकों की कितनी विषम संख्याएँ बनायी जा सकती हैं, यदि पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए?

60
361
357
360

Explanation:

विषम संख्या के लिए इकाई का स्थान 1, 3, या 5 होना चाहिए = 3 तरीके
शेष 4 स्थानों को बचे 5 अंकों से भरने के तरीके = \(5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120\)
कुल संख्याएँ = \(3 \times 120 =\) 360

अंकों 1,2,3,4 से चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनेगी, जो 4 से विभाजित होती हों तथा पुनरावृत्ति ना हो?

Explanation:

4 से विभाज्यता के लिए अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य होने चाहिए (संभावित अंतिम जोड़े: 12, 24, 32) = 3 जोड़े
प्रत्येक जोड़े के लिए शेष 2 स्थानों को बचे 2 अंकों से भरने के तरीके = \(2! = 2\)
कुल संख्याएँ = \(3 \times 2 =\) 6

अंकों 1,2,3,4,5 से पाँच अंकों की कितनी संख्याएँ बनेगी, जो 4 से विभाजित होती हों तथा पुनरावृत्ति ना हो?

Explanation:

4 से विभाज्यता के लिए अंतिम दो अंकों का जोड़ा 12, 24, 32, या 52 होना चाहिए = 4 जोड़े
प्रत्येक जोड़े के लिए शेष 3 स्थानों को बचे 3 अंकों से भरने के तरीके = \(3! = 6\)
कुल संख्याएँ = \(4 \times 6 =\) 24

अंकों 2,3,4,5,6,8,9 से कितनी 4 अंकों की सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

720
480
360
120

Explanation:

इकाई का स्थान भरने के लिए सम अंक (2, 4, 6, 8) = 4 तरीके
शेष 3 स्थानों को बचे 6 अंकों से भरने के तरीके = \(6 \times 5 \times 4 = 120\)
कुल संख्याएँ = \(4 \times 120 =\) 480

यदि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो तो अंकों 2,3,5,7,8 से 4 से विभाज्य कितनी 3 अंकों की संख्याएँ बन सकती हैं?

Explanation:

4 से विभाज्यता के लिए अंतिम दो अंकों के संभावित जोड़े: 28, 32, 52, 72 = 4 जोड़े
प्रत्येक जोड़े के लिए पहला स्थान भरने के लिए बचे 3 अंक = 3 तरीके
कुल संख्याएँ = \(4 \times 3 =\) 12