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त्रिभुज | triangle
- त्रिभुज (Triangle) – तीन भुजाओं, तीन कोणों और तीन शीर्षों से बनी बंद आकृति है।
- त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग (A + B+ C = 180° )होता है।
- भुजाओं के आधार पर
- समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle): तीनों भुजाएँ समान होती हैं।
- समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle): दो भुजाएँ समान होती हैं।
- विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle): तीनों भुजाएँ असमान होती हैं।
- कोणों के आधार पर
- न्यूनकोण त्रिभुज (Acute-angled Triangle): तीनों कोण 90° से कम होते हैं।
- समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle): एक कोण ठीक 90° होता है।
- अधिककोण त्रिभुज (Obtuse-angled Triangle): एक कोण 90° से अधिक होता है।
- किसी भी त्रिभुज में केवल एक ही कोण 90° से अधिक हो सकता है।
- समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है।
- किसी भी त्रिभुज में दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
- किसी त्रिभुज का बाह्य कोण = दो अंतः विपरीत कोणों का योग।
- त्रिभुज का क्षेत्रफल (General Area of Triangle)
- क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times \text{आधार (Base)} \times \text{ऊँचाई (Height)}\)
- समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle)
- क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) (जहाँ \(a\) = भुजा की लंबाई)
- ऊँचाई = \(\frac{\sqrt{3}}{2} a\)
- परिमाप = \(3a\)
- समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle)
- क्षेत्रफल = \(\frac{b}{4} \sqrt{4a^2 – b^2}\) (जहाँ \(a\) = समान भुजा, \(b\) = असमान भुजा/आधार)
- ऊँचाई = \(\sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}\)
- विषमबाहु त्रिभुज / हीरोन का सूत्र (Scalene Triangle / Heron’s Formula)
- अर्ध-परिमाप (\(s\)) = \(\frac{a + b + c}{2}\)
- क्षेत्रफल = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
- समकोण त्रिभुज (Right-Angled Triangle)
- क्षेत्रफल = ½ x आधार x लंबी भुजा (लंब
- पाइथागोरस प्रमेय: कर्ण² = आधार² + लंब²
- समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या और परिवृत्तीय त्रिज्या (Inradius & Circumradius)
- अंतःत्रिज्या (\(r\)) = \(\frac{a}{2\sqrt{3}}\) (जहाँ \(a\) भुजा है)
- परिवृत्तीय त्रिज्या (\(R\)) = \(\frac{a}{\sqrt{3}}\)
- संबंध: \(R = 2r\)
- समबाहु त्रिभुज के भीतर बने वृत्त की त्रिज्या (\(r\)) और बाहर बने वृत्त की त्रिज्या (\(R\)) का अनुपात हमेशा 1 : 2 होता है।
- समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का प्रमेय (Area of Similar Triangles)
- \(\frac{\text{क्षेत्रफल}(ABC)}{\text{क्षेत्रफल}(PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{AC}{PR}\right)^2\)
- दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
- ट्रिपलेट (जैसे 3, 4, 5 या 5, 12, 13)
- 3, 4, 5
- 5, 12, 13
- 7, 24, 25
- 9, 12, 15
- 9, 40, 41
- 6, 8, 10
- 8, 15, 17
- 10, 24, 26
- 12, 16, 20
- 12, 35, 37
- 14, 48, 50
- 15, 20, 25
- 16, 30, 34
- 20, 21, 29
- 20, 48, 52
- 24, 32, 40
- 28, 45, 53
- 33, 56, 65
- 36, 77, 85
- 39, 80, 89
बहुभुज | Polygon
- बहुभुज (Polygon) तीन या तीन से अधिक रेखाखंडों से बनी बंद समतल आकृति है।
- सबसे छोटा बहुभुज त्रिभुज (3 भुजाएँ) है।
- प्रमुख बहुभुज
- 3 भुजाएँ → त्रिभुज (Triangle)
- 4 भुजाएँ → चतुर्भुज (Quadrilateral)
- 5 भुजाएँ → पंचभुज (Pentagon)
- 6 भुजाएँ → षट्भुज (Hexagon)
- 7 भुजाएँ → सप्तभुज (Heptagon)
- 8 भुजाएँ → अष्टभुज (Octagon)
- 9 भुजाएँ → नवभुज (Nonagon)
- 10 भुजाएँ → दशभुज (Decagon)
- 12 भुजाएँ → द्वादशभुज (Dodecagon)
- महत्वपूर्ण सूत्र
- मान लें बहुभुज की भुजाओं की संख्या = n
- आंतरिक कोणों का योग = (n − 2) × 180°
- नियमित बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का मान
= [(n − 2) × 180°] ÷ n
- सभी बाह्य कोणों का योग
= 360°
- नियमित बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण
= 360° ÷ n
- एक शीर्ष से खींचे जा सकने वाले विकर्णों की संख्या
= n − 3
- कुल विकर्णों की संख्या
= n(n − 3) ÷ 2
- 🧠 उदाहरण
- एक अष्टभुज (n = 8) के लिए:
- आंतरिक कोणों का योग = (8 − 2) × 180° = 1080°
- प्रत्येक आंतरिक कोण = 1080° ÷ 8 = 135°
- प्रत्येक बाह्य कोण = 360° ÷ 8 = 45°
- कुल विकर्ण = 8 × 5 ÷ 2 = 20
- किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग = 360°।
- नियमित बहुभुज में सभी भुजाएँ और सभी आंतरिक कोण बराबर होते हैं।
- विकर्ण दो गैर-सन्निकट शीर्षों को मिलाने वाला रेखाखंड है।
- n-भुज को एक शीर्ष से विकर्ण खींचकर (n − 2) त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
- आंतरिक कोणों का योग बढ़ता है, लेकिन बाह्य कोणों का कुल योग हमेशा 360° रहता है।
- 10 भुजाओं वाला एक बहुभुज है। इस बहुभुज के शीर्षों का उपयोग करके कितने त्रिभुज बनाए जा सकते हैं?
- संयोजन = \({}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \mathbf{120}\)।
