Maths-No Of Zeros

No Of Zeros|MATHS

1003 × 1001 × 999 × ……. × 123 के अंत में शून्यों की संख्या है:

• 7
• 3
• 0
• 6

Explanation:

• इस श्रृंखला में सभी संख्याएँ विषम (Odd) हैं। शून्य (0) बनने के लिए कम से कम एक सम संख्या (2 का गुणनखण्ड) और 5 का होना आवश्यक है।
• यहाँ 5 के गुणांक तो हैं, परंतु कोई भी सम संख्या (2) नहीं है। इसलिए शून्यों की संख्या = 0

21 x 35 x 625 x 8 x 165 के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 1
• 3
• 5
• 7

Explanation:

• संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization):
• 21 = 3 × 7
• 35 = 5 × 7 (5¹ भर)
• 625 = 5⁴
• 8 = 2³
• 165 = 3 × 5 × 11 (5¹ भर)
• कुल 5 की घात = 5^(1+4+1) = 5⁶, कुल 2 की घात = 2³
• (2, 5) के युग्मों (pairs) की संख्या = min(3, 6) = 3
• अतः शून्यों की संख्या = 3

25 x 35 x 40 x 50 x 60 x 65 के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 6
• 8
• 5
• 7

Explanation:

• गुणनखंड करने पर:
• 25 = 5²
• 35 = 5 × 7
• 40 = 2³ × 5
• 50 = 2 × 5²
• 60 = 2² × 3 × 5
• 65 = 5 × 13
• कुल 2 की घात = 3 + 1 + 2 = 6 (2⁶)
• कुल 5 की घात = 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 8 (5⁸)
• (2, 5) के युग्म = min(6, 8) = 6
• अतः शून्यों की संख्या = 6

1003 x 1001 x 999 x ………….. x 123 के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 224
• 217
• 0
• 212

Explanation:

• यह 123 से 1003 तक की विषम संख्याओं की श्रृंखला है।
• विषम संख्याओं के गुणनफल में 2 का कोई गुणनखंड नहीं होता। अतः शून्यों की संख्या = 0

1 से 1000 तक की सभी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 30
• 200
• 211
• 249

Explanation:

• 1 से 1000 तक का गुणनफल = 1000! (फ़ैक्टोरियल 1000)
• 1000! में 5 की कुल घात निकालने की विधि:
• 1000 / 5 = 200
• 200 / 5 = 40
• 40 / 5 = 8
• 8 / 5 = 1
• कुल शून्यों की संख्या = 200 + 40 + 8 + 1 = 249

300! के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 74
• 72
• 75
• 76

Explanation:

• 300 में 5 की घातों का विभाजन:
• 300 / 5 = 60
• 60 / 5 = 12
• 12 / 5 = 2
• कुल शून्यों की संख्या = 60 + 12 + 2 = 74

625! के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 125
• 150
• 155
• 156

Explanation:

• 625 में 5 की घातों का भाग देने पर:
• 625 / 5 = 125
• 125 / 5 = 25
• 25 / 5 = 5
• 5 / 5 = 1
• कुल शून्यों की संख्या = 125 + 25 + 5 + 1 = 156

C = 2⁵⁰² x 5²⁰⁵ के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 502
• 205
• 707
• इनमें से कोई नहीं

Explanation:

• शून्यों की संख्या (2, 5) के न्यूनतम घात वाले जोड़े पर निर्भर करती है।
• यहाँ 2 की घात 502 है तथा 5 की घात 205 है।
• न्यूनतम घात = 205
• अतः शून्यों की संख्या = 205

D = 1 × 3 × 5 × 7 × ………… × 999 के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 246
• 199
• 99
• 0

Explanation:

• यह 1 से 999 तक लगातार सभी विषम संख्याओं का गुणनफल है।
• किसी भी विषम संख्या में 2 एक गुणनखंड के रूप में उपस्थित नहीं होता, अतः शून्यों की संख्या = 0

E = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 × … …………× 99 x 128 के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 10
• 12
• 7
• 19

Explanation:

• 1 से 99 तक विषम संख्याओं में 5 के अभाज्य गुणनखंड: 5, 15, 25(5²), 35, 45, 55, 65, 75(5²), 85, 95
• 5 के कुल गुणनखंड = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 12
• 128 = 2⁷ (2 की कुल घात = 7)
• (2, 5) के युग्म = min(7, 12) = 7
• अतः शून्यों की संख्या = 7

H = 168! × 143! के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 40
• 34
• 74
• 1360

Explanation:

• गुणनफल में कुल शून्यों की संख्या = (168! में शून्य) + (143! में शून्य)
• 168! में 5 से विभाजन: 168/5 = 33; 33/5 = 6; 6/5 = 1 ⇒ 33 + 6 + 1 = 40
• 143! में 5 से विभाजन: 143/5 = 28; 28/5 = 5; 5/5 = 1 ⇒ 28 + 5 + 1 = 34
• कुल शून्यों की संख्या = 40 + 34 = 74

I = 2 × 4 × 6 × 8 × … × 1000 के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 249
• 125
• 124
• 997

Explanation:

• श्रृंखला को 2⁵⁰⁰ × (1 × 2 × 3 × … × 500) = 2⁵⁰⁰ × 500! के रूप में लिखा जा सकता है।
• यहाँ 2 प्रचुर मात्रा में उपलब्ध है, अतः केवल 500! में 5 की घात ज्ञात करनी है:
• 500 / 5 = 100
• 100 / 5 = 20
• 20 / 5 = 4
• कुल शून्यों की संख्या = 100 + 20 + 4 = 124

J = 5 × 10 × 15 × 20 × … × 1000 के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 49
• 111
• 197
• 247

Explanation:

• श्रृंखला = 5²⁰⁰ × (1 × 2 × 3 × … × 200) = 5²⁰⁰ × 200!
• यहाँ 5 अत्यधिक मात्रा में है (200 + 200! में 5 की घात), इसलिए शून्यों की संख्या 200! में 2 की कुल घात के बराबर होगी।
• 200! में 2 की कुल घात:
• 200/2 = 100; 100/2 = 50; 50/2 = 25; 25/2 = 12; 12/2 = 6; 6/2 = 3; 3/2 = 1
• 2 की कुल घात = 100 + 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 197
• अतः शून्यों की संख्या = 197

K = 10¹⁰⁰ + 10⁹⁰ + 10⁸⁰ + … + 10²⁰ + 10¹⁰ के योगफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 10
• 100
• 550
• 55

Explanation:

• जब विभिन्न घातों वाली 10 की संख्याओं को जोड़ा जाता है, तो योगफल के अंत में शून्यों की संख्या सबसे न्यूनतम घात वाली संख्या के शून्यों के बराबर होती है।
• उदाहरण: 1000 + 100 + 10 = 1110 (अंत में 1 शून्य, जो 10¹⁰/10¹ की न्यूनतम घात के कारण है)
• यहाँ न्यूनतम पद 10¹⁰ है, जिसमें 10 शून्य हैं।
• अतः योगफल के अंत में शून्यों की संख्या = 10

L = (5!)^6! के प्रसार के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 120
• 720
• 600
• 840

Explanation:

• 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 (5! के अंत में 1 शून्य है)।
• 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720।
• L = (120)⁷²⁰
• यदि आधार में 1 शून्य है, तो घात (exponent) से गुणा करने पर अंत में शून्यों की संख्या = 1 × 720 = 720 होगी।

P = 1¹ × 2² × 3³ × 4⁴ × 5⁵ × … × 100¹⁰⁰ के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 1050
• 1200
• 1300
• 1450

Explanation:

• शून्यों की संख्या 5 के अभाज्य गुणनखंडों पर निर्भर करेगी। 5 के गुणांक वाले पद:
• 5⁵ + 10¹⁰ + 15¹⁵ + 20²⁰ + 25²⁵ + … + 100¹⁰⁰
• समानांतर श्रेणी (AP) का योग = 5 + 10 + 15 + … + 100 = 5 × (1 + 2 + … + 20) = 5 × (20 × 21 / 2) = 1050
• अतिरिक्त 5 वाले पद (25 = 5², 50 = 2×5², 75 = 3×5², 100 = 4×5²):
• 25²⁵ → +25, 50⁵⁰ → +50, 75⁷⁵ → +75, 100¹⁰⁰ → +100 (कुल = 250)
• कुल शून्यों की संख्या = 1050 + 250 = 1300

Q = 100¹ × 99² × 98³ × … × 2⁹⁹ × 1¹⁰⁰ के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?

• 1124
• 1120
• 970
• 1121

Explanation:

• यहाँ किसी संख्या N की घात = (101 – N) है।
• 5 के गुणांक वाले पद: 5⁹⁶, 10⁹¹, 15⁸⁶, …, 100¹
• घातों का योग = 96 + 91 + 86 + … + 1 (20 पद)
• योग = (20 / 2) × (96 + 1) = 10 × 97 = 970
• अतिरिक्त 5 वाले पद (25, 50, 75, 100):
• 25⁷⁶ → +76, 50⁵¹ → +51, 75²⁶ → +26, 100¹ → +1 (कुल = 154)
• कुल शून्यों की संख्या = 970 + 154 = 1124

100! में 4 की उच्चतम घात क्या है?

• 32
• 49
• 48
• इनमें से कोई नहीं

Explanation:

• 4 की घात ज्ञात करने के लिए पहले 100! में 2 की उच्चतम घात निकालेंगे:
• 100/2 = 50; 50/2 = 25; 25/2 = 12; 12/2 = 6; 6/2 = 3; 3/2 = 1
• 2 की कुल घात = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97 (अर्थात् 2⁹⁷)
• 4 = 2², अतः 4 की घात = [97 / 2] = 48

100! में 72 की उच्चतम घात क्या है?

• 20
• 21
• 19
• 24

Explanation:

• 72 = 2³ × 3²
• 100! में 3 की उच्चतम घात = 100/3 + 33/3 + 11/3 + 3/3 = 33 + 11 + 3 + 1 = 48 (अर्थात् 3⁴⁸)
• 3² की घात = 48 / 2 = 24
• 100! में 2 की घात = 97 ⇒ 2³ की घात = [97 / 3] = 32
• 72 की उच्चतम घात = min(32, 24) = 24

संख्याओं 1, 2, 3, 4 ……. ………. 1000 को एक साथ गुना किया जाता है। गुणनफल के अंत ( दाहिनी ओर ) में शून्यों की संख्या है:

• 200
• 30
• 211
• 249

Explanation:

• 1 से 1000 तक का गुणनफल = 1000!
• 1000/5 = 200; 200/5 = 40; 40/5 = 8; 8/5 = 1
• कुल शून्यों की संख्या = 200 + 40 + 8 + 1 = 249

A = 300! में शून्यों की संख्या है:

• 200
• 73
• 74
• 249

Explanation:

• 300/5 = 60; 60/5 = 12; 12/5 = 2
• कुल शून्यों की संख्या = 60 + 12 + 2 = 74

B = 625! में शून्यों की संख्या है:

• 150
• 173
• 174
• 156

Explanation:

• 625/5 = 125; 125/5 = 25; 25/5 = 5; 5/5 = 1
• कुल शून्यों की संख्या = 125 + 25 + 5 + 1 = 156

C = 2⁵⁰² × 5²⁰⁵ में शून्यों की संख्या है:

• 502
• 173
• 205
• 156

Explanation:

• शून्यों की संख्या 2 और 5 की न्यूनतम घात पर निर्भर करती है।
• यहाँ 2 की घात 502 तथा 5 की घात 205 है।
• न्यूनतम घात = 205

D= 1× 3 × 5 × 7× …………….999 में शून्यों की संख्या है:

• 502
• 173
• 0
• 156

Explanation:

• यह केवल विषम संख्याओं की श्रृंखला है, जिसमें 2 का कोई गुणनखंड मौजूद नहीं है।
• अतः शून्यों की संख्या = 0

100! में 4 की उच्चतम घात क्या है?

• 50
• 73
• 48
• 56

Explanation:

• 100! में 2 की कुल घात = 97
• 4 = 2², अतः 4 की उच्चतम घात = [97 / 2] = 48

100! में 72 की उच्चतम घात क्या है?

• 50
• 24
• 48
• 56

Explanation:

• 72 = 2³ × 3²
• 3² के आधार पर अधिकतम घात = 48/2 = 24
• 2³ के आधार पर अधिकतम घात = [97/3] = 32
• अतः 72 की उच्चतम घात = min(32, 24) = 24