Maths-AP/GP/HP

AP/GP/HP|MATHS

यदि किसी समांतर श्रेढ़ी (AP) का पाँचवाँ पद 17 और दसवाँ पद 32 है, तो सार्व अंतर (common difference) निम्न में से क्या होगा?

• 5
• 3
• 4
• 2

Explanation:

• AP के nवें पद का सूत्र: aₙ = a + (n – 1)d
• पाँचवाँ पद: a + 4d = 17
• दसवाँ पद: a + 9d = 32
• दोनों समीकरणों को घटाने पर: (a + 9d) – (a + 4d) = 32 – 17
• 5d = 15 ⇒ d = 15 / 5 = 3

समांतर श्रेढ़ी (AP) 21, 18, 15,… का कौन-सा पद शून्य (0) होगा?

• 7वाँ पद
• 8वाँ पद
• 9वाँ पद
• 10वाँ पद

Explanation:

• प्रथम पद a = 21, सार्व अंतर d = 18 – 21 = -3
• माना nवाँ पद 0 है: a + (n – 1)d = 0
• 21 + (n – 1)(-3) = 0
• -3(n – 1) = -21 ⇒ n – 1 = 7 ⇒ n = 8वाँ पद

किसी समांतर श्रेढ़ी (AP) के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका प्रथम पद 3 और अंतिम पद 31 है।

• 225
• 240
• 255
• 270

Explanation:

• AP के n पदों के योग का सूत्र: Sₙ = (n / 2) × (a + l)
• यहाँ n = 15, प्रथम पद a = 3, अंतिम पद l = 31
• S₁₅ = (15 / 2) × (3 + 31) = (15 / 2) × 34 = 15 × 17 = 255

गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) 4, 8, 16, 32,… का कौन-सा पद 512 है?

• 7वाँ पद
• 8वाँ पद
• 9वाँ पद
• 10वाँ पद

Explanation:

• प्रथम पद a = 4, सार्व अनुपात r = 8 / 4 = 2
• GP के nवें पद का सूत्र: Tₙ = a × rⁿ⁻¹
• 4 × 2ⁿ⁻¹ = 512 ⇒ 2ⁿ⁻¹ = 512 / 4 = 128
• 2ⁿ⁻¹ = 2⁷ ⇒ n – 1 = 7 ⇒ n = 8वाँ पद

किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) का पहला पद 2 है और सार्व अनुपात (common ratio) 3 है। इस GP के पहले 6 पदों का योग निम्न में से क्या होगा?

• 364
• 486
• 728
• 1458

Explanation:

• GP के n पदों के योग का सूत्र (जब r > 1): Sₙ = a(rⁿ – 1) / (r – 1)
• यहाँ a = 2, r = 3, n = 6
• S₆ = 2 × (3⁶ – 1) / (3 – 1) = 2 × (729 – 1) / 2 = 728 / 1 = 728

यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) का तीसरा पद 12 और पाँचवाँ पद 48 है, तो सार्व अनुपात (common ratio) निम्न में से क्या हो सकता है?

• केवल 2
• केवल -2
• 2 या -2
• 4 या -4

Explanation:

• तीसरा पद T₃ = a × r² = 12
• पाँचवाँ पद T₅ = a × r⁴ = 48
• T₅ / T₃ = (a × r⁴) / (a × r²) = 48 / 12
• r² = 4 ⇒ r = 2 या -2

हरात्मक श्रेढ़ी (HP) 1/5, 1/8, 1/11, 1/14,… का पाँचवाँ पद क्या होगा?

• 1/16
• 1/17
• 1/20
• 1/23

Explanation:

• संगत समांतर श्रेढ़ी (AP): 5, 8, 11, 14,…
• AP का प्रथम पद a = 5, सार्व अंतर d = 8 – 5 = 3
• AP का 5वाँ पद T₅ = 5 + (5 – 1) × 3 = 5 + 12 = 17
• अतः HP का 5वाँ पद AP का व्युत्क्रम = 1/17

यदि किसी हरात्मक श्रेढ़ी (HP) का दूसरा पद 1/6 और पाँचवाँ पद 1/15 है, तो इसका सार्व अंतर (common difference of the corresponding AP) निम्न में से क्या होगा?

• 3
• 1/3
• -3
• -1/3

Explanation:

• संगत AP का दूसरा पद (a₂) = 6, पाँचवाँ पद (a₅) = 15
• a + d = 6
• a + 4d = 15
• घटाने पर: (a + 4d) – (a + d) = 15 – 6 ⇒ 3d = 9 ⇒ d = 3

तीन संख्याएँ a, b, c समांतर श्रेढ़ी (AP) में हैं। निम्न में से कौन सा संबंध सही है?

• b = (a+c)/2
• b² = a*c
• 2/b = 1/a + 1/c
• b = a*c

Explanation:

• यदि a, b, c AP में हैं, तो सार्व अंतर समान होता है: b – a = c – b
• 2b = a + c ⇒ b = (a+c)/2 (समांतर माध्य)

तीन संख्याएँ a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी (HP) में हैं। निम्न में से कौन सा संबंध सही है?

• b = (a+c)/2
• b² = a*c
• 2/b = 1/a + 1/c
• b = 2ac/(a+c)

Explanation:

• यदि a, b, c HP में हैं, तो 1/a, 1/b, 1/c AP में होंगे।
• AP की शर्त से: 1/b – 1/a = 1/c – 1/b
• 2/b = 1/a + 1/c (हरात्मक माध्य का संबंध)

16 और 81 के बीच चार गुणोत्तर माध्य (Geometric Means) रखे गए हैं। इस प्रकार बनी श्रेढ़ी का सार्व अनुपात (common ratio) निम्न में से क्या होगा?

• 2/3
• 3/2
• 4/3
• 3/4

Explanation:

• यदि a और b के बीच n गुणोत्तर माध्य रखे जाएँ, तो कुल पदों की संख्या N = n + 2 होती है।
• यहाँ प्रथम पद a = 16, अंतिम पद b = 81, और कुल पद = 4 + 2 = 6वाँ पद।
• T₆ = a × r⁵ ⇒ 81 = 16 × r⁵ ⇒ r⁵ = 81 / 16 = (3/2)⁵
• सार्व अनुपात r = 3/2

k के किस मान के लिए; श्रृंखला 2, 3 + k और 6 समान्तर श्रेणी में हैं?

• 4
• 3
• 1
• 2

Explanation:

• यदि a, b, c AP में हों, तो 2b = a + c होता है।
• 2(3 + k) = 2 + 6
• 6 + 2k = 8 ⇒ 2k = 2 ⇒ k = 1

किसी समान्तर श्रेणी का बीसवां पद 101 है और पहला पद 6 है। सामान्य अंतर क्या होगा?

• 7
• 4
• 5
• 6

Explanation:

• t₂₀ = a + 19d = 101
• a = 6 रखने पर: 6 + 19d = 101
• 19d = 95 ⇒ d = 95 / 19 = 5

कुल 25 पदों वाली समान्तर श्रेणी का पहला पद क्या है जिसका अंतिम पद 314 है और सार्व अंतर 12 है?

• 28
• 26
• 25
• 24

Explanation:

• अंतिम पद t₂₅ = a + (25 – 1)d = 314
• a + 24(12) = 314
• a + 288 = 314 ⇒ a = 314 – 288 = 26

यदि एक समान्तर श्रेणी (AP) श्रृंखला का 5वां पद 16 है और 9वां पद 22 है, तो श्रृंखला का सातवां (7वां) पद ज्ञात कीजिए।

• 25
• 22
• 19
• इनमें से कोई नहीं

Explanation:

• t₅ = a + 4d = 16
• t₉ = a + 8d = 22
• t₉ – t₅ = 4d = 6 ⇒ d = 1.5
• 7वाँ पद (t₇) t₅ और t₉ का मध्य पद है: t₇ = (t₅ + t₉) / 2 = (16 + 22) / 2 = 38 / 2 = 19

श्रृंखला 5, 2, −1, … का nवाँ पद ज्ञात कीजिए।

• 5 – 2n
• 8 – 3n
• 7 – 3n
• 4 – n

Explanation:

• प्रथम पद a = 5, सार्व अंतर d = 2 – 5 = -3
• tₙ = a + (n – 1)d = 5 + (n – 1)(-3)
• tₙ = 5 – 3n + 3 = 8 – 3n

दी गई समान्तर श्रेणी 2, 6, 10, 14, 18, … के लिए 11वाँ पद क्या है?

• 38
• 44
• 42
• 46

Explanation:

• a = 2, d = 6 – 2 = 4
• t₁₁ = a + 10d = 2 + 10(4) = 2 + 40 = 42

समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, … का 10वाँ पद क्या होगा?

• 45
• 43
• 97
• 47

Explanation:

• a = 2, d = 7 – 2 = 5
• t₁₀ = a + 9d = 2 + 9(5) = 2 + 45 = 47

एक निश्चित A.P. में, 5वें पद का 5 गुना 8वें पद के 8 गुना के बराबर है, तो इसका 13वां पद ज्ञात करें।

• 0
• 1
• 2
• 4

Explanation:

• शर्त: 5 × t₅ = 8 × t₈
• 5(a + 4d) = 8(a + 7d)
• 5a + 20d = 8a + 56d ⇒ 3a + 36d = 0 ⇒ 3(a + 12d) = 0
• a + 12d = 0 ⇒ t₁₃ = 0

समान्तर श्रेणी 3, 7, 11, …, 407 में कितने पद हैं?

• 96
• 102
• 100
• 108

Explanation:

• a = 3, d = 7 – 3 = 4, tₙ = 407
• 407 = 3 + (n – 1)4 ⇒ 404 = (n – 1)4
• n – 1 = 101 ⇒ n = 102

समान्तर श्रेणी के लिए t_n ज्ञात कीजिए जहाँ t₃ = 22, t₁₇ = – 20 है।

• 3n – 32
• -3n + 32
• -3n + 31
• 3n + 31

Explanation:

• t₃ = a + 2d = 22
• t₁₇ = a + 16d = -20
• घटाने पर: 14d = -42 ⇒ d = -3
• a + 2(-3) = 22 ⇒ a = 28
• tₙ = a + (n – 1)d = 28 + (n – 1)(-3) = 28 – 3n + 3 = -3n + 31

एक A.P. में यदि a₂ + a₅ – a₃ = 10 और a₂ + a₉ = 17 है, तो a₂₀ ज्ञात कीजिए।

• 6
• -6
• 8
• -10

Explanation:

• (a + d) + (a + 4d) – (a + 2d) = 10 ⇒ a + 3d = 10
• (a + d) + (a + 8d) = 17 ⇒ 2a + 9d = 17
• समीकरण 1 को 2 से गुणा करके घटाने पर: (2a + 9d) – (2a + 6d) = 17 – 20 ⇒ 3d = -3 ⇒ d = -1
• a + 3(-1) = 10 ⇒ a = 13
• a₂₀ = a + 19d = 13 + 19(-1) = 13 – 19 = -6

यदि किसी AP का pवाँ पद q है और qवाँ पद p है, तो इसका rवाँ पद ज्ञात कीजिए।

• pq + r
• p + q + r
• p – q – r
• p + q – r

Explanation:

• tₚ = a + (p – 1)d = q
• t₇ = a + (q – 1)d = p
• घटाने पर: (p – q)d = q – p = -(p – q) ⇒ d = -1
• a = p + q – 1
• tᵣ = a + (r – 1)d = (p + q – 1) + (r – 1)(-1) = p + q – r

समान्तर श्रेणियों 3, 7, 11, 15, 19, … और 1, 6, 11, 16, 21, … का 10वां उभयनिष्ठ पद ज्ञात करें।

• 191
• 180
• 195
• 201

Explanation:

• पहला उभयनिष्ठ पद (a) = 11
• d₁ = 4, d₂ = 5 ⇒ उभयनिष्ठ अंतर D = LCM(4, 5) = 20
• 10वाँ उभयनिष्ठ पद = a + 9D = 11 + 9(20) = 11 + 180 = 191

किसी समान्तर श्रेणी के पहले 6 पदों का योग ज्ञात कीजिए यदि तीसरा और चौथा पद 5 और 8 हैं।

• 36
• 38
• 39
• 45

Explanation:

• t₃ = 5, t₄ = 8 ⇒ d = t₄ – t₃ = 8 – 5 = 3
• t₃ = a + 2d = 5 ⇒ a + 6 = 5 ⇒ a = -1
• S₆ = (6 / 2) × [2a + 5d] = 3 × [2(-1) + 5(3)] = 3 × [-2 + 15] = 3 × 13 = 39

किसी समान्तर श्रेणी के पहले पांच पदों का योग ज्ञात करें यदि तीसरा पद 4 है।

• 24
• 16
• 20
• कोई नहीं

Explanation:

• AP के n पदों का योग Sₙ = n × (मध्य पद) होता है जब n विषम हो।
• यहाँ 5 पदों का मध्य पद 3रा पद (t₃ = 4) है।
• S₅ = 5 × t₃ = 5 × 4 = 20

समान्तर श्रेणी में 3 संख्याओं का योगफल – 3 तथा उनका गुणनफल 8 है। संख्याएं ज्ञात कीजिए।

• 2, -1, -4
• 2, 1, 4
• -2, -1, -4
• 2, 1, -4

Explanation:

• माना तीन संख्याएँ (a – d), a, (a + d) हैं।
• योगफल = (a – d) + a + (a + d) = 3a = -3 ⇒ a = -1
• गुणनफल = (-1 – d)(-1)(-1 + d) = -1(1 – d²) = 8 ⇒ 1 – d² = -8 ⇒ d² = 9 ⇒ d = ±3
• यदि d = -3, संख्याएँ: -1 – (-3), -1, -1 + (-3) ⇒ 2, -1, -4

प्रथम n विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

• 3n²
• n²
• n²/2
• 3n²/2

Explanation:

• प्रथम n विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, …, (2n – 1)
• Sₙ = (n / 2) × [1 + (2n – 1)] = (n / 2) × 2n = n²

समान्तर श्रेणी 5, 9, 13, 17 … के 23 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

• 1172
• 1127
• 1217
• इनमें से कोई नहीं

Explanation:

• a = 5, d = 9 – 5 = 4, n = 23
• S₂₃ = (23 / 2) × [2(5) + (23 – 1)4] = (23 / 2) × [10 + 88]
• S₂₃ = (23 / 2) × 98 = 23 × 49 = 1127

अनुक्रम 243, 256, 269, … के 151 पद तक का योगफल ज्ञात कीजिए।

• 183916
• 183917
• 183918
• 183915

Explanation:

• a = 243, d = 256 – 243 = 13, n = 151
• S₁₅₁ = (151 / 2) × [2(243) + (151 – 1)13] = (151 / 2) × [486 + 150 × 13]
• S₁₅₁ = (151 / 2) × [486 + 1950] = (151 / 2) × 2436 = 151 × 1218 = 183918

दी गई श्रृंखला 1+ 5+ 6+10+11 +15 +16 +20 + … के पहले 200 पदों का योग क्या है?

• 49400
• 48300
• 50100
• 49600

Explanation:

• श्रृंखला को दो समान्तर श्रेणियों में विभाजित करने पर:
• AP₁ (विषम पद): 1, 6, 11, 16, … (100 पद) ⇒ a₁ = 1, d₁ = 5
• S₁ = (100 / 2) × [2(1) + (100 – 1)5] = 50 × [2 + 495] = 50 × 497 = 24850
• AP₂ (सम पद): 5, 10, 15, 20, … (100 पद) ⇒ a₂ = 5, d₂ = 5
• S₂ = (100 / 2) × [2(5) + (100 – 1)5] = 50 × [10 + 495] = 50 × 505 = 25250
• कुल योग = S₁ + S₂ = 24850 + 25250 = 50100

श्रृंखला -9, -6, -3, … के कितने पद लिए जाएं ताकि सभी पदों का योग 45 हो?

• 9
• 11
• 10
• 8

Explanation:

• a = -9, d = -6 – (-9) = 3, Sₙ = 45
• Sₙ = (n / 2) × [2a + (n – 1)d] ⇒ 45 = (n / 2) × [2(-9) + (n – 1)3]
• 90 = n × [-18 + 3n – 3] ⇒ 90 = n(3n – 21) ⇒ 30 = n(n – 7)
• n² – 7n – 30 = 0 ⇒ (n – 10)(n + 3) = 0
• n धनात्मक पूर्णांक है, अतः n = 10

यदि किसी समान्तर श्रेणी का पहला पद 5 है, अंतिम पद 45 है और योग 400 है तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 15
• 14
• 18
• 16

Explanation:

• a = 5, l = 45, Sₙ = 400
• Sₙ = (n / 2) × (a + l)
• 400 = (n / 2) × (5 + 45) ⇒ 400 = (n / 2) × 50
• 400 = 25n ⇒ n = 400 / 25 = 16

100 और 1000 के बीच प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हैं।

• 94540
• 98450
• 95320
• 96430

Explanation:

• 100 और 1000 के बीच (exclusive) 5 के गुणज: 105, 110, 115, …, 995
• a = 105, d = 5, l = 995
• l = a + (n – 1)d ⇒ 995 = 105 + (n – 1)5 ⇒ 890 = (n – 1)5 ⇒ n – 1 = 178 ⇒ n = 179
• S₁₇₉ = (179 / 2) × (105 + 995) = (179 / 2) × 1100 = 179 × 550 = 98450

100 और 1000 के बीच प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 5 और 7 की एक साथ गुणज हो।

• 15204
• 13102
• 11105
• 14105

Explanation:

• 5 और 7 का LCM = 35
• 100 और 1000 के बीच 35 के गुणज: 105, 140, 175, …, 980
• a = 105, d = 35, l = 980
• 980 = 105 + (n – 1)35 ⇒ 875 = (n – 1)35 ⇒ n – 1 = 25 ⇒ n = 26
• S₂₆ = (26 / 2) × (105 + 980) = 13 × 1085 = 14105

एक समांतर श्रेणी जिसका पहला और तीसरा पद क्रमशः 160 और 170 है, इसके पहले 157 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

• 84350
• 85350
• 83350
• 86350

Explanation:

• a = 160, t₃ = a + 2d = 170 ⇒ 160 + 2d = 170 ⇒ 2d = 10 ⇒ d = 5
• n = 157
• S₁₅₇ = (157 / 2) × [2(160) + (157 – 1)5] = (157 / 2) × [320 + 156 × 5]
• S₁₅₇ = (157 / 2) × [320 + 780] = (157 / 2) × 1100 = 157 × 550 = 86350

एक आदमी जनवरी 2020 में ₹1550 बचाता है और हर महीने पिछले महीने की तुलना में अपनी बचत में ₹75 की वृद्धि करता है। वर्ष 2020 में उस आदमी की वार्षिक बचत कितनी है? (₹ में)

• 23250
• 23350
• 23550
• 23450

Explanation:

• वर्ष में 12 महीने होते हैं ⇒ n = 12
• a = 1550, d = 75
• S₁₂ = (12 / 2) × [2(1550) + (12 – 1)75] = 6 × [3100 + 11 × 75]
• S₁₂ = 6 × [3100 + 825] = 6 × 3925 = 23550

100 से कम कितने धनात्मक पूर्णांकों को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 3 रहता है?

• 13
• 15
• 12
• 14

Explanation:

• संख्याएँ 7k + 3 के रूप की हैं: 3, 10, 17, 24, …, 94
• a = 3, d = 7, l = 94
• 94 = 3 + (n – 1)7 ⇒ 91 = (n – 1)7 ⇒ n – 1 = 13 ⇒ n = 14
• ध्यान दें: “7 से विभाजित करने पर” में न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक जिसे विभाजित किया जाता है, उसमें 3 भी शामिल है (3 = 7 × 0 + 3)।
• परंतु विकल्प के अनुसार यदि k ≥ 1 से गणना करें: 10, 17, …, 94 तक पदों की संख्या = 13 (7k + 3 जहाँ k = 1, 2, …, 13)।

यदि दो AP के n पदों के योग का अनुपात (5n + 3) : (3n + 4) है, तो उनके 17वें पदों का अनुपात है।

• 172 : 99
• 168 : 103
• 175 : 99
• 171 : 103

Explanation:

• n पदों के योग के अनुपात से mवें पद का अनुपात निकालने के लिए n = 2m – 1 रखते हैं।
• 17वें पद के लिए: m = 17 ⇒ n = 2(17) – 1 = 33
• अनुपात = [5(33) + 3] / [3(33) + 4] = (165 + 3) / (99 + 4) = 168 / 103

यदि किसी समान्तर श्रेणी का 10वाँ पद 21 है और 17वाँ पद 13वें पद से 8 अधिक है, तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।

• 7, 10, 13, 16 ….
• 3, 8, 11, 14 ….
• 5, 7, 9, 11 ….
• 3, 5, 7, 9 ….

Explanation:

• t₁₇ – t₁₃ = 8 ⇒ (a + 16d) – (a + 12d) = 8 ⇒ 4d = 8 ⇒ d = 2
• t₁₀ = a + 9d = 21 ⇒ a + 9(2) = 21 ⇒ a + 18 = 21 ⇒ a = 3
• समान्तर श्रेणी: 3, 3 + 2, 3 + 4, 3 + 6 … = 3, 5, 7, 9 ….

यदि समान्तर श्रेणी 2, 5, 8, … के प्रथम 2n पदों का योग 57, 59, 61, … के प्रथम n पदों के योग के बराबर है, तो n ज्ञात कीजिए।

• 10
• 12
• 11
• 13

Explanation:

• प्रथम AP: a₁ = 2, d₁ = 3, पदों की संख्या = 2n
• S₁ = (2n / 2) × [2(2) + (2n – 1)3] = n × [4 + 6n – 3] = n(6n + 1)
• द्वितीय AP: a₂ = 57, d₂ = 2, पदों की संख्या = n
• S₂ = (n / 2) × [2(57) + (n – 1)2] = (n / 2) × [114 + 2n – 2] = (n / 2) × (2n + 112) = n(n + 56)
• प्रश्न अनुसार: n(6n + 1) = n(n + 56)
• 6n + 1 = n + 56 ⇒ 5n = 55 ⇒ n = 11 (प्रश्न में 12 को हाईलाइट किया गया है, पर सही गणितीय मान 11 है)।