MATHS
एक 24 m लंबी सीढ़ी दीवार के सहारे खड़ी है। यदि सीढ़ी दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है, तो सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी (m में) ज्ञात कीजिए। (27/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 12
- 12√2
- 12√3
- 12/√3
Explanation:
- चरण 1: त्रिकोणमितीय अनुपात चुनना
- यहाँ सीढ़ी की लंबाई (कर्ण $H$) = 24 m है।
- सीढ़ी दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है, इसलिए आधार ($Base$) दीवार से दूरी होगी।
- $\sin(30^\circ) = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}$ (चूँकि कोण दीवार के साथ है, इसलिए आधार लंबवत घटक बनता है या $\sin$ नियम लगता है)।
- चरण 2: मान रखना
- $\sin(30^\circ) = \frac{x}{24}$
- $\frac{1}{2} = \frac{x}{24}$
- $x = \frac{24}{2} = 12$ m
- अतः दीवार से दूरी 12 m है।
- ऊंचाई और दूरी नियम:
- जब कोण दीवार के साथ दिया गया हो, तो क्षैतिज दूरी ज्ञात करने के लिए $\sin$ अनुपात का उपयोग किया जाता है।
यदि किसी दीवार के सापेक्ष सीढ़ी का उन्नयन कोण 60° है और सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 11.5 m दूर है, तो सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए। (16/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 23 m
- 23√3 m
- 23√3 cm
- 11.5 m
Explanation:
- चरण 1: त्रिकोणमितीय अनुपात चुनना
- दीवार के सापेक्ष उन्नयन कोण (या क्षैतिज से कोण) $60^\circ$ है। आधार = 11.5 m।
- $\cos(60^\circ) = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण (सीढ़ी की लंबाई)}}$
- चरण 2: हल करना
- $\cos(60^\circ) = \frac{11.5}{L}$
- $\frac{1}{2} = \frac{11.5}{L}$
- $L = 11.5 \times 2 = 23$ m
- अतः सीढ़ी की लंबाई 23 m है।
- त्रिकोणमिति नियम:
- आधार और कर्ण के बीच संबंध स्थापित करने के लिए $\cos$ अनुपात का प्रयोग किया जाता है।
एक पार्क में एक ध्वजस्तंभ है। ध्वजस्तंभ से 30 m दूर खड़ा एक व्यक्ति देखता है कि ध्वजस्तंभ के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। ध्वजस्तंभ की ऊंचाई (मीटर में) ज्ञात कीजिए। (19/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 40√3
- 20√3
- 10√3
- 30√3
Explanation:
- चरण 1: सूत्र का प्रयोग करना
- $\tan(\theta) = \frac{\text{लंम्ब (ऊंचाई)}}{\text{आधार (दूरी)}}$
- $\tan(30^\circ) = \frac{h}{30}$
- चरण 2: मान हल करना
- $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{30}$
- $h = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ m
- अतः ध्वजस्तंभ की ऊंचाई 10√3 मीटर है।
- ऊंचाई और दूरी नियम:
- लंब और आधार के बीच के संबंध के लिए $\tan \theta$ का उपयोग किया जाता है।
28 मीटर लंबी एक सीढ़ी, किसी दीवार के सहारे, भू-तल से 60° का कोण बनाते हुए खड़ी हुई है। वह ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जिस पर सीढ़ी दीवार को स्पर्श करती है। (√3 = 1.74 का उपयोग कीजिए) (25/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 21.5 m
- 22.65 m
- 24.36 m
- 23.8 m
Explanation:
- चरण 1: त्रिकोणमितीय अनुपात चुनना
- यहाँ कर्ण ($H$) = 28 m और भू-तल से कोण $\theta = 60^\circ$ है।
- $\sin(60^\circ) = \frac{\text{लंम्ब (ऊंचाई)}}{\text{कर्ण}}$
- चरण 2: मान रखना और हल करना
- $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{28}$
- $h = 28 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$
- $\sqrt{3} = 1.74$ रखने पर:
- $h = 14 \times 1.74 = 24.36$ m
- अतः ऊंचाई 24.36 m है।
- त्रिकोणमिति नियम:
- लंब और कर्ण के अनुपात के लिए $\sin \theta$ का उपयोग किया जाता है।
पतंग उड़ा रहा एक लड़का 24.4 m लंबी डोर को इस प्रकार पकड़ता है कि वह भूमि से 30° का कोण बनाती है। भूमि से पतंग की ऊंचाई ज्ञात कीजिए। (16/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 13.6 m
- 13.2 m
- 12.2 m
- 11.5 m
Explanation:
- चरण 1: सूत्र का प्रयोग करना
- डोर की लंबाई (कर्ण) = 24.4 m, कोण $\theta = 30^\circ$
- $\sin(30^\circ) = \frac{\text{ऊंचाई } (h)}{\text{डोर की लंबाई}}$
- चरण 2: हल करना
- $\frac{1}{2} = \frac{h}{24.4}$
- $h = \frac{24.4}{2} = 12.2$ m
- अतः भूमि से पतंग की ऊंचाई 12.2 m है।
- पतंग और डोरी नियम:
- डोरी की लंबाई हमेशा समकोण त्रिभुज का कर्ण होती है।
एक मीनार, भूमि पर ऊर्ध्वाधर रूप से खड़ी है। भूमि पर एक बिंदु से जो मीनार के आधार से 28.6 m दूर स्थित है, टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (16/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 22.6 m
- 28.6 m
- 24.6 m
- 26.6 m
Explanation:
- चरण 1: सूत्र का प्रयोग करना
- $\tan(45^\circ) = \frac{\text{मीनार की ऊंचाई } (h)}{\text{आधार से दूरी}}$
- चरण 2: मान रखना
- $1 = \frac{h}{28.6}$
- $h = 28.6$ m
- अतः मीनार की ऊंचाई 28.6 m है।
- 45° कोण नियम:
- जब उन्नयन कोण 45° होता है, तो लंब और आधार की लंबाई आपस में बराबर होती है।