maths-lcmhcf #2 – SARKARI LIBRARY

Mixed|MATHS

3.6, 1.8 और 0.144 का LCM क्या है?

3.6
36
3600
360

Explanation:

तीनों को 1000 से गुणा करने पर: 3600, 1800, 144
\(3600 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2\), \(1800 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2\), \(144 = 2^4 \times 3^2\)
LCM \(= 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 3600\)
अभीष्ट LCM \(= \frac{3600}{1000} = 3.6\)

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 12 है। निम्नलिखित में से कौन-सा उनका लघुत्तम समापवर्तक कभी नहीं हो सकता है?

Explanation:

LCM हमेशा HCF का गुणज होता है, इसलिए LCM, 12 से विभाज्य होना चाहिए।
\(72 = 12 \times 6\), \(60 = 12 \times 5\), \(84 = 12 \times 7\) सभी विभाज्य हैं।
\(90 \div 12\) पूर्ण नहीं होता, इसलिए LCM कभी 90 नहीं हो सकता।

\((8x^3 + 80x^2 + 200x)\) और \((4x^4 + 16x^3 – 20x^2)\) का लघुत्तम समापवर्तक क्या है?

\(8x^2(x+5)^2(x-1)\)
\(8x^2(x-1)^2(x+5)\)
\(4x^2(x-1)^2(x+5)\)
\(4x^2(x+5)^2(x-1)\)

Explanation:

\(8x^3 + 80x^2 + 200x = 8x(x^2 + 10x + 25) = 8x(x+5)^2\)
\(4x^4 + 16x^3 – 20x^2 = 4x^2(x^2 + 4x – 5) = 4x^2(x+5)(x-1)\)
LCM \(= 8x^2(x+5)^2(x-1)\)

186.6 और 373.2 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

373.2
398.2
186.6
276.6

Explanation:

\(373.2 = 2 \times 186.6\), यानी बड़ी संख्या छोटी का गुणज है।
अतः LCM \(= 373.2\)

यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 8 है, तो निम्न में से कौन-सा उनका लघुत्तम समापवर्तक कभी नहीं हो सकता है?

Explanation:

LCM, HCF (8) का गुणज होना चाहिए।
\(56 = 8 \times 7\), \(48 = 8 \times 6\), \(40 = 8 \times 5\) विभाज्य हैं।
42, 8 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह LCM नहीं हो सकता।

यदि \(xy^3\), \(x^2y\) और \(x^3y^4\) का महत्तम समापवर्तक, \(xy\) है तो उनका लघुत्तम समापवर्तक ______ है।

\(x^3y^4\)
\(x^3y^3\)
\(x^4y^3\)
\(x^4y^4\)

Explanation:

\(x\) की सबसे बड़ी घात \(= 3\) और \(y\) की सबसे बड़ी घात \(= 4\)
LCM \(= x^3y^4\)

96, 136 और 504 का लघुत्तम समापवर्तक क्या है?

34272
36548
25872
28564

Explanation:

\(96 = 2^5 \times 3\), \(136 = 2^3 \times 17\), \(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\)
LCM \(= 2^5 \times 3^2 \times 7 \times 17\)
\(= 32 \times 9 \times 7 \times 17 = 34272\)

\(\frac{3}{8}, \frac{5}{16}\) और \(\frac{7}{2}\) का लघुत्तम समापवर्तक क्या है?

\(52\frac{1}{2}\)
\(101\frac{1}{2}\)
\(28\frac{1}{2}\)
\(25\frac{1}{4}\)

Explanation:

भिन्नों का LCM \(= \frac{\text{अंशों का LCM}}{\text{हरों का HCF}}\)
अंशों (3, 5, 7) का LCM \(= 105\); हरों (8, 16, 2) का HCF \(= 2\)
LCM \(= \frac{105}{2} = 52\frac{1}{2}\)

1.2 और 2.7 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

10.8
5.4
1.08
32.4

Explanation:

10 से गुणा करने पर: 12 और 27
\(12 = 2^2 \times 3\), \(27 = 3^3\), LCM \(= 4 \times 27 = 108\)
अभीष्ट LCM \(= \frac{108}{10} = 10.8\)

a और b का लघुत्तम समापवर्तक 42 है। 5a और 11b का लघुत्तम समापवर्तक क्या है?

2310
4630
210
462

Explanation:

\(a\) और \(b\) दोनों, LCM \(42 = 2 \times 3 \times 7\) के गुणक हैं, इसलिए इनमें 5 और 11 का गुणनखंड नहीं है।
अतः 5 केवल \(5a\) में और 11 केवल \(11b\) में आएगा।
LCM \(= 5 \times 11 \times 42 = 2310\)

108, 72 और 5a का उच्चतम सामान्य गुणनखंड a है। 108, 72 और a का लघुत्तम समापवर्तक क्या हो सकता है?

216
432
324
108

Explanation:

HCF(108, 72, 5a) \(= a\) है, इसलिए \(a\) संख्या 108 और 72 दोनों को विभाजित करता है, यानी \(a\) संख्या 36 का भाजक है।
\(108 = 2^2 \times 3^3\), \(72 = 2^3 \times 3^2\), इनका LCM \(= 2^3 \times 3^3 = 216\)
\(a\) भाजक होने से LCM नहीं बदलता, अतः LCM \(= 216\)

48 और 64 का लघुत्तम समापवर्तक, 12 और 18 के महत्तम समापवर्तक का ________ गुना है।

Explanation:

LCM(48, 64) \(= 192\); HCF(12, 18) \(= 6\)
\(\frac{192}{6} = 32\) गुना

\(a^3b – ab^3\), \(a^3b^2 – a^2b^3\), \(ab(a-b)\) का लघुत्तम समापवर्तक क्या है?

\(a^2b^2(a^2-b^2)\)
\(a^2b^2(a^2+b^2)\)
\(a^2b^3(a^2+b^2)\)
\(a^3b^2(a^2-b^2)\)

Explanation:

\(a^3b – ab^3 = ab(a-b)(a+b)\)
\(a^3b^2 – a^2b^3 = a^2b^2(a-b)\)
तीसरा \(= ab(a-b)\)
LCM \(= a^2b^2(a-b)(a+b) = a^2b^2(a^2-b^2)\)

96, 132 और 438 का लघुत्तम समापवर्तक है:

77088
86084
67055
85046

Explanation:

\(96 = 2^5 \times 3\), \(132 = 2^2 \times 3 \times 11\), \(438 = 2 \times 3 \times 73\)
LCM \(= 2^5 \times 3 \times 11 \times 73\)
\(= 96 \times 11 \times 73 = 1056 \times 73 = 77088\)

0.15, 0.18 और 0.45 का लघुत्तम समापवर्तक क्या है?

0.9
0.09
0.81
0.6

Explanation:

100 से गुणा करने पर: 15, 18, 45
\(15 = 3 \times 5\), \(18 = 2 \times 3^2\), \(45 = 3^2 \times 5\), LCM \(= 2 \times 9 \times 5 = 90\)
अभीष्ट LCM \(= \frac{90}{100} = 0.9\)

\(x^2 – 8x + 15\) और \(x^2 – 5x + 6\) का लघुत्तम समापवर्तक है:

\((x-5)(x-2)(x-3)\)
\((x-2)(x-3)^2(x-5)\)
\((x+5)(x+2)(x+3)\)
\((x-5)(x+2)(x-3)\)

Explanation:

\(x^2 – 8x + 15 = (x-3)(x-5)\)
\(x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)
उभयनिष्ठ गुणनखंड \((x-3)\) एक बार लेने पर LCM \(= (x-2)(x-3)(x-5)\)

दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्तक और उन संख्याओं के योग का अनुपात 12 : 7 है। यदि उनका महत्तम समापवर्तक 4 है, तो उन दोनों संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

192
169
172
196

Explanation:

माना संख्याएँ \(4a\) और \(4b\) (\(a, b\) सह-अभाज्य): LCM \(= 4ab\), योग \(= 4(a+b)\)
\(\frac{ab}{a+b} = \frac{12}{7}\), सह-अभाज्य के लिए \(a + b = 7,\ ab = 12\), अतः \(a = 3,\ b = 4\)
संख्याएँ 12 और 16, गुणनफल \(= 192\)

0.126, 0.36 और 0.96 का लघुत्तम समापवर्तक क्या है?

20.16
20160
201.60
2.016

Explanation:

1000 से गुणा करने पर: 126, 360, 960
\(126 = 2 \times 3^2 \times 7\), \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\), \(960 = 2^6 \times 3 \times 5\)
LCM \(= 2^6 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 20160\)
अभीष्ट LCM \(= \frac{20160}{1000} = 20.16\)

\(\frac{18}{5}\), \(\frac{6}{5}\) और \(\frac{18}{125}\) का लघुत्तम समापवर्तक क्या है?

3.6
8.3
4.8
5.2

Explanation:

अंशों (18, 6, 18) का LCM \(= 18\); हरों (5, 5, 125) का HCF \(= 5\)
LCM \(= \frac{18}{5} = 3.6\)

\(x^2 – 8x + 15\) और \(x^2 – 5x + 6\) का ल.स. (LCM) है:

\((x-2)(x-3)(x-5)\)
\((x-6)^2(x+1)(x-3)\)
\((x-6)(x+1)(x-3)\)
\((x+6)(x+1)(x-3)\)

Explanation:

\(x^2 – 8x + 15 = (x-3)(x-5)\)
\(x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)
LCM \(= (x-2)(x-3)(x-5)\)

संख्या 1026, 2268 और 2430 का महत्तम समापवर्तक क्या है?

Explanation:

\(1026 = 2 \times 3^3 \times 19\), \(2268 = 2^2 \times 3^4 \times 7\), \(2430 = 2 \times 3^5 \times 5\)
उभयनिष्ठ गुणनखंड: \(2 \times 3^3\)
HCF \(= 2 \times 27 = 54\)

दो संख्याओं 2040 और 391 का महत्तम समापवर्तक क्या है?

Explanation:

\(391 = 17 \times 23\) और \(2040 = 17 \times 120\)
23, 120 को विभाजित नहीं करता, इसलिए HCF \(= 17\)

\(\frac{12}{5}\), \(\frac{14}{15}\) और \(\frac{16}{17}\) के महत्तम समापवर्तक की गणना करें।

\(\frac{2}{255}\)
\(\frac{4}{255}\)
\(\frac{3}{255}\)
\(\frac{1}{255}\)

Explanation:

भिन्नों का HCF \(= \frac{\text{अंशों का HCF}}{\text{हरों का LCM}}\)
HCF(12, 14, 16) \(= 2\); LCM(5, 15, 17) \(= 255\)
HCF \(= \frac{2}{255}\)

निम्नलिखित में से सही कथन चुनें।

दो या दो से अधिक संख्याओं का म.स. वह उच्चतम संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है।
म.स. दी गई संख्याओं में सबसे छोटा सामान्य गुणज है।
म.स. को सबसे छोटा सामान्य विभाजक भी कहा जाता है।
म.स. की अभाज्य गुणनखंड विधि में, दी गई सभी संख्याओं के गुणज सूचीबद्ध होते हैं।

Explanation:

म.स. (HCF) दी गई सभी संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक होता है।
“सबसे छोटा सामान्य गुणज” ल.स. (LCM) की परिभाषा है, और म.स. “सबसे छोटा” नहीं बल्कि “सबसे बड़ा” उभयनिष्ठ भाजक है।
अभाज्य गुणनखंड विधि में गुणज नहीं, गुणनखंड सूचीबद्ध किए जाते हैं। अतः केवल पहला कथन सही है।

तीन संख्याओं 105, 335 और 465 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

Explanation:

\(105 = 3 \times 5 \times 7\), \(335 = 5 \times 67\), \(465 = 3 \times 5 \times 31\)
उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 5 है, अतः HCF \(= 5\)

222, 642 और 1062 का महत्तम समापवर्तक ______ है।

Explanation:

\(222 = 2 \times 3 \times 37\), \(642 = 2 \times 3 \times 107\), \(1062 = 2 \times 3^2 \times 59\)
उभयनिष्ठ गुणनखंड: \(2 \times 3\), अतः HCF \(= 6\)

4.08 और 6.63 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

0.51
0.50
0.52
0.53

Explanation:

100 से गुणा करने पर: 408 और 663
\(663 – 408 = 255\); \(408 – 255 = 153\); \(255 – 153 = 102\); \(153 – 102 = 51\); \(102 = 2 \times 51\)
HCF(408, 663) \(= 51\), अतः अभीष्ट HCF \(= \frac{51}{100} = 0.51\)

\(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}\) और \(\frac{7}{8}\) का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

\(\frac{1}{24}\)
\(\frac{105}{2}\)
\(\frac{7}{24}\)
\(\frac{1}{48}\)

Explanation:

अंशों (1, 3, 5, 7) का HCF \(= 1\); हरों (2, 4, 6, 8) का LCM \(= 24\)
HCF \(= \frac{1}{24}\)

तीन संख्याओं 98, 175 और 210 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

Explanation:

\(98 = 2 \times 7^2\), \(175 = 5^2 \times 7\), \(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)
उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 7 है, अतः HCF \(= 7\)

दो संख्याओं का गुणनफल 6760 है और उनकी HCF 13 है ऐसे कितने युग्म बन सकते हैं?

Explanation:

माना संख्याएँ \(13a\) और \(13b\) (\(a, b\) सह-अभाज्य): \(169ab = 6760 \Rightarrow ab = 40\)
सह-अभाज्य युग्म: \((1, 40)\) और \((5, 8)\); \((2, 20)\) और \((4, 10)\) सह-अभाज्य नहीं हैं।
अतः कुल 2 युग्म बनेंगे।

विभाजन विधि द्वारा दो संख्याओं का म.स. (HCF) ज्ञात करने पर भागफल क्रमशः 1, 8 और 2 प्राप्त होता है, और अंतिम भाजक 105 है। दोनों संख्याओं का योग कितना है?

3780
3570
3885
3675

Explanation:

पीछे से चलने पर: अंतिम भाजक \(= 105\), अंतिम भागफल \(= 2\), इसलिए पिछला शेषफल \(= 2 \times 105 = 210\)
छोटी संख्या \(= 8 \times 210 + 105 = 1785\)
बड़ी संख्या \(= 1 \times 1785 + 210 = 1995\)
योग \(= 1785 + 1995 = 3780\)

दो संख्याओं 960 और 1020 का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या है?

Explanation:

अंतर \(= 1020 – 960 = 60\)
\(960 = 60 \times 16\) और \(1020 = 60 \times 17\), अतः HCF \(= 60\)

दो संख्याओं का योगफल 124 है और उनका महत्तम समापवर्तक 68 है। संख्याओं के कुल कितने युग्म उपर्युक्त स्थिति को संतुष्ट करते हैं?

Explanation:

माना संख्याएँ \(68a\) और \(68b\), तब योग \(= 68(a + b) = 124\)
\(a + b = \frac{124}{68}\), जो पूर्णांक नहीं है।
अतः दी गई शर्तों के अनुसार वास्तव में कोई युग्म संभव नहीं है।

\(\frac{3}{4}, \frac{7}{8}\) और \(\frac{13}{14}\) का महत्तम समापवर्तक क्या है?

\(\frac{1}{56}\)
\(\frac{1}{36}\)
\(\frac{1}{70}\)
\(\frac{1}{60}\)

Explanation:

अंशों (3, 7, 13) का HCF \(= 1\); हरों (4, 8, 14) का LCM \(= 56\)
HCF \(= \frac{1}{56}\)

\(\frac{11}{25}, \frac{9}{20}, \frac{16}{15}\) और \(\frac{10}{33}\) का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

\(\frac{1}{3300}\)
\(\frac{1}{330}\)
\(\frac{1}{33}\)
\(\frac{1}{300}\)

Explanation:

अंशों (11, 9, 16, 10) का HCF \(= 1\)
हरों (25, 20, 15, 33) का LCM \(= 2^2 \times 3 \times 5^2 \times 11 = 3300\)
HCF \(= \frac{1}{3300}\)

364 और 724 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

Explanation:

\(724 – 364 = 360\); \(364 – 360 = 4\); \(360 = 4 \times 90\)
HCF \(= 4\)

3888 और 3969 का महत्तम समापवर्तक है:

Explanation:

अंतर \(= 3969 – 3888 = 81\)
\(3888 = 81 \times 48\) और \(3969 = 81 \times 49\), अतः HCF \(= 81\)

\((x^6 + 1)\) और \((x^4 – 1)\) का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या है?

\((1 + x^2)\)
1
\((1 + x)\)
\((1 – x^2)\)

Explanation:

\(x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1 = (x^2 + 1)(x^4 – x^2 + 1)\)
\(x^4 – 1 = (x^2 – 1)(x^2 + 1)\)
उभयनिष्ठ गुणनखंड \(= (x^2 + 1)\)

77 सेमी, 110 सेमी और 121 सेमी लंबाई वाली, धातु की तीन छड़ों को बराबर लंबाई के टुकड़ों में काटा जाना है। प्रत्येक भाग यथासंभव लंबा होना चाहिए। काटे जा सकने वाले टुकड़ों की अधिकतम संख्या कितनी है?

Explanation:

प्रत्येक टुकड़े की अधिकतम लंबाई \(=\) HCF(77, 110, 121) \(= 11\) सेमी
टुकड़ों की संख्या \(= \frac{77}{11} + \frac{110}{11} + \frac{121}{11} = 7 + 10 + 11 = 28\)

यदि दो संख्याओं (प्रत्येक 17 से बड़ी) का महत्तम समापवर्तक (HCF) 17 और लघुत्तम समापवर्तक (LCM) 561 है, तो उन दोनों संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

238
387
340
268

Explanation:

संख्याएँ \(17a\) और \(17b\): \(ab = \frac{561}{17} = 33\)
सह-अभाज्य युग्म: \((1, 33)\) और \((3, 11)\)
संख्याएँ 17 से बड़ी होनी चाहिए, इसलिए \((1, 33)\) (जिसमें एक संख्या 17 है) छोड़कर \((3, 11)\) लेने पर संख्याएँ \(51\) और \(187\) हैं।
योग \(= 51 + 187 = 238\)

तीन संख्याओं का म.स. 57 है। यदि उनका अनुपात 4 : 5 : 6 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

228, 285, 342
236, 295, 354
240, 300, 360
232, 290, 348

Explanation:

अनुपात 4 : 5 : 6 के सरलतम रूप में होने से HCF \(=\) अनुपात का गुणक \(= 57\)
संख्याएँ: \(4 \times 57 = 228\), \(5 \times 57 = 285\), \(6 \times 57 = 342\)

120 सेब, 240 संतरे और 150 नाशपाती कार्टन्स में इस तरह पैक किए जाते हैं कि प्रत्येक कार्टन में फलों की संख्या बराबर होती है। प्रत्येक कार्टन में केवल एक ही प्रकार के फल हैं और कोई भी फल बिना पैक किए नहीं छोड़ा जाता है। इसके लिए आवश्यक कार्टन की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।

Explanation:

कार्टन न्यूनतम तब होंगे जब प्रत्येक कार्टन में फलों की संख्या अधिकतम हो, यानी HCF(120, 240, 150) \(= 30\)
कार्टन की संख्या \(= \frac{120}{30} + \frac{240}{30} + \frac{150}{30} = 4 + 8 + 5 = 17\)

एक फल विक्रेता बाजार में 1092 सेब और 3432 संतरे लाता है। वह उन्हें संतरे और सेब की समान संख्या के ढेर में इस तरह से व्यवस्थित करता है कि प्रत्येक ढेर में फलों की अधिकतम संभव संख्या हो। वह संख्या क्या है?

156
78
312
39

Explanation:

अधिकतम संख्या \(=\) HCF(1092, 1092 और 3432)
\(3432 = 3 \times 1092 + 156\); \(1092 = 7 \times 156\)
HCF \(= 156\)

दो संख्याओं का योग 60 है और उनका गुणनफल 875 है। संख्याओं का महत्तम समापवर्तक है।

Explanation:

संख्याएँ \(x\) और \(60 – x\): \(x(60 – x) = 875 \Rightarrow x^2 – 60x + 875 = 0\)
\(x = \frac{60 \pm \sqrt{3600 – 3500}}{2} = \frac{60 \pm 10}{2} = 35\) या \(25\)
HCF(25, 35) \(= 5\)

यदि विभाजन विधि द्वारा दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने पर, अंतिम भाजक 17 है और भागफल क्रमशः 1, 11 और 2 प्राप्त हुए हों, तो उन दोनों संख्याओं का योग क्या होगा?

816
833
867
901

Explanation:

अंतिम भाजक \(= 17\), अंतिम भागफल \(= 2\), इसलिए पिछला शेषफल \(= 2 \times 17 = 34\)
छोटी संख्या \(= 11 \times 34 + 17 = 391\)
बड़ी संख्या \(= 1 \times 391 + 34 = 425\)
योग \(= 391 + 425 = 816\)

दो धनात्मक संख्याओं का योग 240 है, और उनका म.स. (HCF) 15 है। दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाली संख्याओं के युग्मों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Explanation:

संख्याएँ \(15a\) और \(15b\) (\(a, b\) सह-अभाज्य): \(a + b = \frac{240}{15} = 16\)
सह-अभाज्य युग्म (\(a < b\)): \((1, 15), (3, 13), (5, 11), (7, 9)\)
\((2, 14), (4, 12), (6, 10), (8, 8)\) सह-अभाज्य नहीं हैं।
अतः कुल 4 युग्म हैं।

तीन संख्याएँ \(\frac{1}{2} : \frac{2}{3} : \frac{3}{4}\) के अनुपात में हैं। यदि सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या का अंतर 33 है, तो तीनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) कितना होगा?

Explanation:

\(\frac{1}{2} : \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = 6 : 8 : 9\) (12 से गुणा करने पर)
सबसे बड़ी − सबसे छोटी \(= 9 – 6 = 3\) भाग \(= 33\), इसलिए 1 भाग \(= 11\)
संख्याएँ: 66, 88, 99, अतः HCF \(= 11\)

दो संख्याओं का गुणनफल 1500 है और उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 10 है। ऐसे संभावित युग्मों की संख्या है/हैं:

Explanation:

संख्याएँ \(10a\) और \(10b\) (\(a, b\) सह-अभाज्य): \(100ab = 1500 \Rightarrow ab = 15\)
सह-अभाज्य युग्म: \((1, 15)\) और \((3, 5)\)
अतः 2 युग्म संभव हैं।

यदि \(x\) और \(y\) का उच्चतम सामान्य गुणनखंड (HCF) 15 है, तो \(36x^2 – 81y^2\) और \(81x^2 – 9y^2\) का (HCF) ______ से विभाज्य है।

135
120
180
90

Explanation:

माना \(x = 15m\), \(y = 15n\) (\(m, n\) सह-अभाज्य)
\(36x^2 – 81y^2 = 9 \times 225\,(4m^2 – 9n^2) = 2025\,(4m^2 – 9n^2)\)
\(81x^2 – 9y^2 = 9 \times 225\,(9m^2 – n^2) = 2025\,(9m^2 – n^2)\)
दोनों 2025 के गुणज हैं, इसलिए HCF भी 2025 से विभाज्य है।
\(2025 = 135 \times 15\), अतः HCF, 135 से विभाज्य है। (2025, 120, 180, 90 से विभाज्य नहीं है।)

उन संख्याओं के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक के बीच का अनुपात क्या है जिनका लघुत्तम समापवर्तक 48 है और संख्याओं का गुणनफल 384 है?

1 : 6
1 : 4
1 : 3
2 : 5

Explanation:

HCF \(\times\) LCM \(=\) संख्याओं का गुणनफल
HCF \(= \frac{384}{48} = 8\)
HCF : LCM \(= 8 : 48 = 1 : 6\)

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 4104 और महत्तम समापवर्तक 9 है। यदि संख्याओं में से एक संख्या 171 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए?

216
218
215
220

Explanation:

दूसरी संख्या \(= \frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{\text{पहली संख्या}}\)
\(= \frac{9 \times 4104}{171} = \frac{36936}{171} = 216\)

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 21 है और उनका लघुत्तम समापवर्तक 840 है। यदि इनमें से एक संख्या 49 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?

360
650
540
810

Explanation:

दूसरी संख्या \(= \frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{\text{पहली संख्या}}\)
\(= \frac{21 \times 840}{49} = \frac{17640}{49} = 360\)

दो संख्याओं का HCF और LCM क्रमशः 6 और 5040 है, यदि संख्याओं में से एक 210 है, तो दूसरी संख्या है:

144
30
630
256

Explanation:

दूसरी संख्या \(= \frac{6 \times 5040}{210} = \frac{30240}{210} = 144\)

दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक का गुणनफल 3321 है। यदि संख्याओं में से एक 369 है, तो संख्याओं का HCF:

Explanation:

HCF \(\times\) LCM \(=\) संख्याओं का गुणनफल \(= 3321\)
दूसरी संख्या \(= \frac{3321}{369} = 9\)
\(369 = 9 \times 41\), इसलिए HCF(369, 9) \(= 9\)

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 11 है और उनका लघुत्तम समापवर्तक 693 है। यदि एक संख्या 77 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

Explanation:

दूसरी संख्या \(= \frac{11 \times 693}{77} = \frac{7623}{77} = 99\)

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) का 22 गुना है। यदि एक संख्या 132 है और लघुत्तम समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक का योग 276 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

Explanation:

LCM \(= 22 \times\) HCF, इसलिए \(23 \times\) HCF \(= 276 \Rightarrow\) HCF \(= 12\), LCM \(= 264\)
दूसरी संख्या \(= \frac{12 \times 264}{132} = 24\)

तीन संख्याएँ 3 : 8 : 5 के अनुपात में हैं और उनका लघुत्तम समापवर्तक 8280 है। उनका महत्तम समापवर्तक क्या होगा?

Explanation:

संख्याएँ \(3h, 8h, 5h\); अनुपात की संख्याएँ आपस में सह-अभाज्य हैं, इसलिए LCM \(= 3 \times 8 \times 5 \times h = 120h\)
\(120h = 8280 \Rightarrow h = 69\)
HCF \(= 69\)

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक क्रमशः 90 और 15 हैं। दोनों संख्याओं का योग 75 है, तो बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

Explanation:

संख्याएँ \(15a\) और \(15b\): \(15(a + b) = 75 \Rightarrow a + b = 5\), और \(15ab = 90 \Rightarrow ab = 6\)
\(a, b = 2, 3\), इसलिए संख्याएँ 30 और 45
बड़ी संख्या \(= 45\)

दो संख्याएँ 6 : 5 के अनुपात में हैं। यदि उनका महत्तम समापवर्तक 3 है, तो दोनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कितना होगा?

Explanation:

संख्याएँ \(6 \times 3 = 18\) और \(5 \times 3 = 15\)
LCM \(= 3 \times 6 \times 5 = 90\)

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 120 है और संख्याएँ 3 : 8 के अनुपात में हैं। संख्याओं का योग ज्ञात करें?

Explanation:

संख्याएँ \(3h\) और \(8h\): LCM \(= 24h = 120 \Rightarrow h = 5\)
संख्याएँ 15 और 40, योग \(= 55\)

दो संख्याओं का योग 18 है और उनका महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक क्रमशः 3 और 54 है। उनके व्युत्क्रमों का योग क्या होगा?

\(\frac{1}{9}\)
\(\frac{1}{7}\)
\(\frac{1}{11}\)
\(\frac{1}{6}\)

Explanation:

संख्याओं का गुणनफल \(=\) HCF \(\times\) LCM \(= 3 \times 54 = 162\)
व्युत्क्रमों का योग \(= \frac{a + b}{ab} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}\)

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए, यदि उनका महत्तम समापवर्तक 9 है और उनका अनुपात 14 : 19 है।

2394
3990
1596
3192

Explanation:

संख्याएँ \(14 \times 9\) और \(19 \times 9\); 14 और 19 सह-अभाज्य हैं।
LCM \(= 9 \times 14 \times 19 = 2394\)

दो संख्याओं का LCM 168 है और उनका HCF 12 है। यदि संख्याओं का अंतर 60 है। संख्याओं का योग क्या है?

108
122
164
112

Explanation:

संख्याएँ \(12a\) और \(12b\): \(12ab = 168 \Rightarrow ab = 14\), और \(12(a – b) = 60 \Rightarrow a – b = 5\)
\(a = 7,\ b = 2\), अतः संख्याएँ 84 और 24
योग \(= 84 + 24 = 108\)

दो संख्याओं का म.स. (HCF) और ल.स. (LCM) क्रमशः 8 और 48 हैं। यदि दो संख्याओं का अनुपात 2 : 3 है, तो दो संख्याओं में से बड़ी संख्या कौन सी हैं?

Explanation:

संख्याएँ \(2 \times 8 = 16\) और \(3 \times 8 = 24\)
जाँच: LCM \(= 8 \times 2 \times 3 = 48\) ✓, बड़ी संख्या \(= 24\)

दो संख्याओं का HCF (म.स.) 29 है, और उनके LCM (ल.स.) के अन्य दो गुणनखंड 15 और 13 हैं। उन दो संख्याओं में बड़ी संख्या ज्ञात करें।

435
377
406
464

Explanation:

संख्याएँ \(= \text{HCF} \times\) अन्य गुणनखंड: \(29 \times 15 = 435\) और \(29 \times 13 = 377\)
बड़ी संख्या \(= 435\)

दो संख्याओं का म.स. (HCF) 29 है, और उनके ल.स. (LCM) के अन्य दो गुणनखंड 15 और 13 हैं। उन दो संख्याओं में छोटी संख्या ज्ञात करें।

377
435
464
406

Explanation:

संख्याएँ \(29 \times 15 = 435\) और \(29 \times 13 = 377\)
छोटी संख्या \(= 377\)

तीन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) और अनुपात क्रमशः 1386 और 3 : 7 : 11 हैं। सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Explanation:

संख्याएँ \(3h, 7h, 11h\): LCM \(= 231h = 1386 \Rightarrow h = 6\)
सबसे बड़ी \(= 66\), सबसे छोटी \(= 18\)
योग \(= 66 + 18 = 84\)

दो संख्याएँ 12 : 7 के अनुपात में हैं। यदि उनका महत्तम समापवर्तक 25 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

300, 175
225, 135
300, 50
175, 120

Explanation:

संख्याएँ \(12 \times 25 = 300\) और \(7 \times 25 = 175\)

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक निर्धारित करें यदि उनका महत्तम समापवर्तक 12 है और उनका अनुपात 13 : 15 है।

2340
1780
2450
1890

Explanation:

13 और 15 सह-अभाज्य हैं, इसलिए LCM \(= 12 \times 13 \times 15 = 2340\)

तीन संख्याएँ 5 : 7 : 9 के अनुपात में हैं और उनका लघुत्तम समापवर्तक 34,650 है। उनका महत्तम समापवर्तक है:

110
315
55
99

Explanation:

LCM \(= 5 \times 7 \times 9 \times h = 315h = 34650\)
\(h = 110\), अतः HCF \(= 110\)

दो संख्याओं का HCF और LCM क्रमशः 8 और 224 है। यदि दोनों संख्याओं का अनुपात 4 : 7 है, तो दोनों में से बड़ी संख्या क्या होगी?

Explanation:

संख्याएँ \(4 \times 8 = 32\) और \(7 \times 8 = 56\)
जाँच: LCM \(= 8 \times 4 \times 7 = 224\) ✓, बड़ी संख्या \(= 56\)

तीन संख्याएँ 3 : 5 : 7 के अनुपात में हैं और उनका लघुत्तम समापवर्तक 840 है। उनका महत्तम समापवर्तक है।

Explanation:

LCM \(= 3 \times 5 \times 7 \times h = 105h = 840\)
\(h = 8\), अतः HCF \(= 8\)

दो संख्याओं का अनुपात 9 : 13 है और उनका महत्तम समापवर्तक 6 है। उनका लघुत्तम समापवर्तक है।

702
720
710
602

Explanation:

LCM \(= 6 \times 9 \times 13 = 702\)

वह छोटी से छोटी संख्या क्या होगी जिसे दोगुना करने पर 15, 18, 25 और 32 से पूर्णतः विभाजित हो जाएगी?

3600
7200
6400
3200

Explanation:

\(15 = 3 \times 5\), \(18 = 2 \times 3^2\), \(25 = 5^2\), \(32 = 2^5\)
LCM \(= 2^5 \times 3^2 \times 5^2 = 7200\)
संख्या का दोगुना 7200 है, इसलिए संख्या \(= \frac{7200}{2} = 3600\)

2, 3, 5, 6, 9 और 18 से विभाज्य सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जो एक पूर्ण वर्ग हो।

900
400
144
3600

Explanation:

LCM(2, 3, 5, 6, 9, 18) \(= 90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 2 और 5 की घात सम होनी चाहिए, इसलिए \(2 \times 5 = 10\) से गुणा करें।
संख्या \(= 90 \times 10 = 900 = 30^2\)

चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 24, 36 और 54 से बिल्कुल विभाज्य है:

9936
9990
9924
9960

Explanation:

LCM(24, 36, 54) \(= 2^3 \times 3^3 = 216\)
\(9999 \div 216\) में भागफल 46 और शेषफल 63 आता है।
संख्या \(= 9999 – 63 = 9936\)

यदि 4749, 5601 और 7092 में से प्रत्येक को बड़ी से बड़ी संभावित संख्या \(d\) (\(d > 1\)) से विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक बार शेषफल \(r\) बचता है, तो \((d + r)\) का मान ज्ञात कीजिए।

276
271
298
282

Explanation:

अंतर: \(5601 – 4749 = 852\); \(7092 – 5601 = 1491\)
\(d =\) HCF(852, 1491) \(= 213\) (\(1491 – 852 = 639\), \(852 – 639 = 213\), \(639 = 3 \times 213\))
\(r = 4749 \bmod 213 = 4749 – 22 \times 213 = 4749 – 4686 = 63\)
\(d + r = 213 + 63 = 276\)

165, 176, 385 और 495 का ल.स. (LCM) \(k\) है। जब \(k\) को उनके म.स. (HCF) द्वारा विभाजित किया जाता है, तो भागफल \(p\) प्राप्त होता है। \(p\) का मान बताइए।

5040
2520
6720
3360

Explanation:

\(165 = 3 \times 5 \times 11\), \(176 = 2^4 \times 11\), \(385 = 5 \times 7 \times 11\), \(495 = 3^2 \times 5 \times 11\)
LCM \(k = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 11 = 55440\); HCF \(= 11\)
\(p = \frac{55440}{11} = 5040\)

वह सबसे छोटी संख्या कौन सी होगी जिसे दोगुना करने पर 12, 14, 16 और 18 से पूर्णतः विभाज्य हो?

504
636
428
226

Explanation:

\(12 = 2^2 \times 3\), \(14 = 2 \times 7\), \(16 = 2^4\), \(18 = 2 \times 3^2\)
LCM \(= 2^4 \times 3^2 \times 7 = 1008\)
संख्या \(= \frac{1008}{2} = 504\)

421 और 427 को एक ही संख्या से विभाजित करने पर समान शेषफल 1 बचता है। समान शेषफल 1 प्राप्त करने के लिए कितनी संख्याओं को भाजक के रूप में उपयोग किया जा सकता है?

Explanation:

भाजक, \(421 – 1 = 420\) और \(427 – 1 = 426\) दोनों को विभाजित करेगा, अर्थात HCF(420, 426) \(= 6\) का भाजक होगा।
6 के भाजक: 1, 2, 3, 6; शेषफल 1 होने के लिए भाजक 1 से बड़ा होना चाहिए।
संभव भाजक: 2, 3, 6, यानी 3 संख्याएँ।

यदि दो संख्याओं का योग 60 है तथा उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक क्रमशः 5 और 60 हैं, तो संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग होगा:

\(\frac{1}{5}\)
\(\frac{1}{11}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{4}\)

Explanation:

गुणनफल \(= 5 \times 60 = 300\)
व्युत्क्रमों का योग \(= \frac{a + b}{ab} = \frac{60}{300} = \frac{1}{5}\)

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक क्रमशः 9 और 126 हैं। यदि संख्याओं के बीच का अनुपात 2 : 7 है, तो बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

Explanation:

संख्याएँ \(2 \times 9 = 18\) और \(7 \times 9 = 63\)
जाँच: LCM \(= 9 \times 2 \times 7 = 126\) ✓, बड़ी संख्या \(= 63\)

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) का 56 गुना है, उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक का योग 1710 है। यदि दो संख्याओं में से एक 240 है, तो दूसरी संख्या कौन-सी है?

210
57
171
1680

Explanation:

LCM \(= 56 \times\) HCF, इसलिए \(57 \times\) HCF \(= 1710 \Rightarrow\) HCF \(= 30\), LCM \(= 1680\)
दूसरी संख्या \(= \frac{30 \times 1680}{240} = 210\)

6 घंटियाँ, जो कि क्रमशः 3, 4, 6, 7, 8 और 12 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं, एक साथ बजना शुरू करती हैं। कितने सेकंड के बाद, वे फिर एक साथ बजेंगी?

168
167
176
186

Explanation:

LCM(3, 4, 6, 7, 8, 12) \(= 2^3 \times 3 \times 7 = 168\)
अतः 168 सेकंड बाद वे फिर एक साथ बजेंगी।

A और B ऐसी दो अभाज्य संख्याएँ हैं कि \(A > B\) और उनका लघुत्तम समापवर्तक (LCM) 209 है। \(A^2 – B\) का मान कितना होगा?

350
372
361
339

Explanation:

दो अभाज्य संख्याओं का LCM उनका गुणनफल होता है: \(209 = 11 \times 19\)
\(A = 19\), \(B = 11\)
\(A^2 – B = 361 – 11 = 350\)

13, a, b, c चार अलग-अलग संख्याएँ हैं; (13, a); (13, b); (13, c) का महत्तम समापवर्तक 13 है, जहां a, b, c प्रत्येक 60 से कम है और \(a < b < c\) है। \(\frac{a+c}{b}\) का मान क्या है?

Explanation:

HCF(13, \(a\)) \(= 13\) का अर्थ है कि \(a\) संख्या 13 का गुणज है। 60 से कम गुणज: 13, 26, 39, 52
चार संख्याएँ अलग-अलग हैं, इसलिए \(a, b, c = 26, 39, 52\)
\(\frac{a + c}{b} = \frac{26 + 52}{39} = \frac{78}{39} = 2\)

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 17 है और उनके लघुत्तम समापवर्तक के अन्य दो गुणनखंड 11 और 19 हैं। दोनों संख्याओं में से छोटी संख्या है:

187
208
323
306

Explanation:

संख्याएँ \(17 \times 11 = 187\) और \(17 \times 19 = 323\)
छोटी संख्या \(= 187\)

यदि दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक क्रमशः 12 और 2 हैं, तो इन संख्याओं का मध्यानुपात ज्ञात कीजिए।

\(2\sqrt{6}\)
400
144
3600

Explanation:

संख्याओं का गुणनफल \(= 12 \times 2 = 24\)
मध्यानुपात (गुणोत्तर माध्य) \(= \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)

चार घंटियाँ एक निश्चित समय पर एक साथ बजती हैं। इसके बाद वे क्रमशः 6, 8, 10 और 12 सेकंड के अंतराल पर बजते हैं। पहली बार वे कितने मिनटों में एक साथ फिर से बजेंगी?

2 मिनट
\(2\frac{1}{4}\) मिनट
1 मिनट
\(1\frac{1}{2}\) मिनट

Explanation:

LCM(6, 8, 10, 12) \(= 120\) सेकंड
\(\frac{120}{60} = 2\) मिनट

एक तेल व्यापारी के पास क्रमशः 432, 594 और 702 लीटर तेल की 3 किस्में हैं। तेल को अलग से भरने के लिए आवश्यक समान आकार के डिब्बे की संख्या है:

8, 11, 13
16, 15, 17
8, 13, 15
6, 9, 11

Explanation:

डिब्बे की क्षमता अधिकतम \(=\) HCF(432, 594, 702)
\(432 = 2^4 \times 3^3\), \(594 = 2 \times 3^3 \times 11\), \(702 = 2 \times 3^3 \times 13\), इसलिए HCF \(= 54\)
डिब्बे: \(\frac{432}{54} = 8\), \(\frac{594}{54} = 11\), \(\frac{702}{54} = 13\)

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

दो प्राकृतिक संख्याओं का ल.स. उनके म.स. द्वारा विभाज्य है।
दो अभाज्य संख्याएँ, सह-अभाज्य संख्याएं होंगी, यदि उनका ल.स. 1 है।
दो संख्याओं का म.स. + ल.स. = दो संख्याओं का गुणनफल
दो संख्याओं का म.स. दोनों संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ भाजक है।

Explanation:

संख्याएँ \(ha\) और \(hb\) हों तो LCM \(= hab\), जो \(h\) से विभाज्य है। पहला कथन सत्य है।
दो संख्याओं का LCM 1 नहीं हो सकता (अभाज्य संख्याओं के लिए LCM उनका गुणनफल होता है)। दूसरा कथन असत्य है।
सही संबंध HCF \(\times\) LCM \(=\) गुणनफल है, HCF + LCM नहीं। तीसरा असत्य है।
HCF सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक है, सबसे छोटा नहीं। चौथा असत्य है।

तीन अंकों की उस बड़ी से बड़ी संख्या और चार अंकों की उस छोटी से छोटी संख्या के अंकों का योग क्या है, जिनका म.स. (HCF) 23 है?

2001
2002
1998
1984

Explanation:

यहाँ 23 के गुणजों की बात है: तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 23 से विभाज्य है: \(999 = 23 \times 43 + 10\), अतः \(999 – 10 = 989\)
चार अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 23 से विभाज्य है: \(1000 = 23 \times 43 + 11\), अतः \(1000 + (23 – 11) = 1012\)
योग \(= 989 + 1012 = 2001\)

\(r\) वह शेषफल है, जो 6454, 7306 और 8797 को बड़ी संख्या \(d\) (\(d > 1\)) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, तो \((d – r)\) का मान ज्ञात कीजिए।

149
126
64
137

Explanation:

अंतर: \(7306 – 6454 = 852\); \(8797 – 7306 = 1491\)
\(d =\) HCF(852, 1491) \(= 213\)
\(r = 6454 \bmod 213 = 6454 – 30 \times 213 = 6454 – 6390 = 64\)
\(d – r = 213 – 64 = 149\)

दो संख्याओं का योगफल 1215 तथा उनका म.स. (HCF) 81 है। यदि संख्याएं 500 और 700 के बीच में है, तो संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग ______ होगा।

\(\frac{5}{1512}\)
\(\frac{5}{702}\)
\(\frac{5}{378}\)
\(\frac{5}{1188}\)

Explanation:

संख्याएँ \(81a\) और \(81b\): \(a + b = \frac{1215}{81} = 15\)
संख्याएँ 500 से 700 के बीच हैं, इसलिए \(a, b \in \{7, 8\}\) (क्योंकि \(81 \times 7 = 567\), \(81 \times 8 = 648\))
संख्याएँ 567 और 648; व्युत्क्रमों का योग \(= \frac{1215}{567 \times 648} = \frac{1215}{367416}\)
81 से भाग देने पर \(= \frac{15}{4536} = \frac{5}{1512}\)

यदि दो संख्याएँ a और b का लघुत्तम समापवर्त्य 60 है और उनका महत्तम समापवर्तक 15 है, तो उनका मध्यानुपात ज्ञात कीजिए।

Explanation:

गुणनफल \(ab =\) HCF \(\times\) LCM \(= 15 \times 60 = 900\)
मध्यानुपात \(= \sqrt{ab} = \sqrt{900} = 30\)

माना कि \(x = 224\) और \(y = 322\)। यदि \(23x\) और \(a \times y\) का उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड \(x\) और \(y\) से विभाज्य है, तो \(a\) का संभावित मान क्या हो सकता है?

Explanation:

\(x = 224 = 2^5 \times 7\) और \(y = 322 = 2 \times 7 \times 23\)
LCM(\(x, y\)) \(= 2^5 \times 7 \times 23 = 5152 = 23x\)
\(23x\) और \(ay\) का HCF, \(x\) और \(y\) दोनों से विभाज्य होगा तो वह LCM \(= 23x\) का गुणज होगा। HCF अधिकतम \(23x\) ही हो सकता है, इसलिए HCF \(= 23x\)
इसके लिए \(23x \mid ay\): \(2^5 \times 7 \times 23 \mid 2 \times 7 \times 23 \times a \Rightarrow 16 \mid a\)
विकल्पों में केवल \(a = 16\) संभव है।

माना कि \(m\) और \(n\) का महत्तम समापवर्तक ‘\(a\)’ है और \(n = ab\) है, तो \(m\) और \(n\) का लघुत्तम समापवर्तक इस प्रकार दिया गया है:

\(bm\)
\(am\)
\(ab\)
\(mn\)

Explanation:

LCM \(= \frac{m \times n}{\text{HCF}} = \frac{m \times ab}{a}\)
\(= bm\)

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक 1105 और 5 है। यदि लघुत्तम समापवर्तक पहली संख्या का 17 गुना है, तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

65 और 85
55 और 85
65 और 75
60 और 80

Explanation:

पहली संख्या \(= \frac{1105}{17} = 65\)
दूसरी संख्या \(= \frac{5 \times 1105}{65} = 85\)

यदि 45 और 55 का महत्तम समापवर्तक \(55 \times 5 + 45 \times m\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो \(m\) का मान क्या है?

-6
5
6
-5

Explanation:

HCF(45, 55) \(= 5\)
\(5 = 55 \times 5 + 45m \Rightarrow 45m = 5 – 275 = -270\)
\(m = -6\)

अधिकतम संभव लंबाई जिसका उपयोग 3 मीटर 15 सेमी, 5 मीटर 40 सेमी और 6 मीटर 85 सेमी की लंबाई मापने के लिए किया जा सकता है:

5 सेमी
9 सेमी
11 सेमी
7 सेमी

Explanation:

सेमी में: 315, 540, 685
\(315 = 3^2 \times 5 \times 7\), \(540 = 2^2 \times 3^3 \times 5\), \(685 = 5 \times 137\)
HCF \(= 5\) सेमी

पाँच घंटियाँ एक साथ बजने लगती हैं और क्रमशः 5, 10, 15, 20 और 25 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। 1 घंटे 20 मिनट में वे कितनी बार एक साथ बजती हैं?

17 बार
15 बार
14 बार
20 बार

Explanation:

LCM(5, 10, 15, 20, 25) \(= 300\) सेकंड \(= 5\) मिनट
1 घंटा 20 मिनट \(= 80\) मिनट; \(\frac{80}{5} = 16\) बार बाद में
शुरुआत की एक बार मिलाकर कुल \(= 16 + 1 = 17\) बार

दो सह-अभाज्य संख्याओं का गुणनफल 483 है। उनका लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

483
23
21
1

Explanation:

सह-अभाज्य संख्याओं का HCF \(= 1\)
LCM \(= \frac{\text{गुणनफल}}{\text{HCF}} = \frac{483}{1} = 483\)

दो 2-अंकीय संख्याओं का HCF 19 है और उनका योग 152 है। उनका अंतर क्या है?

Explanation:

संख्याएँ \(19a\) और \(19b\): \(a + b = \frac{152}{19} = 8\)
सह-अभाज्य युग्म: \((1, 7)\) और \((3, 5)\)
\((1, 7)\) से संख्याएँ 19 और 133 आती हैं (133, 3 अंकों की है), इसलिए \((3, 5)\) लेते हैं: 57 और 95
अंतर \(= 95 – 57 = 38\)

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 6 है और उन्हीं दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 54 है, तो इन संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल क्या होगा?

Explanation:

गुणनफल \(= 6 \times 54 = 324\)
वर्गमूल \(= \sqrt{324} = 18\)

दो संख्याओं में 10 का अंतर है। यदि उनका लघुत्तम समापवर्तक 120 और महत्तम समापवर्तक 10 है, तो संख्याओं का योग है।

Explanation:

संख्याएँ \(10a\) और \(10b\): \(10ab = 120 \Rightarrow ab = 12\), और \(10(a – b) = 10 \Rightarrow a – b = 1\)
\(a = 4,\ b = 3\), अतः संख्याएँ 40 और 30
योग \(= 70\)

12 मीटर 95 सेमी लंबे और 3 मीटर 85 सेमी चौड़े कमरे की छत बनाने के लिए आवश्यक वर्गाकार टाइलों की न्यूनतम संख्या है।

14245
14225
14000
12425

Explanation:

कमरा: \(1295\) सेमी \(\times\) \(385\) सेमी
टाइल की अधिकतम भुजा \(=\) HCF(1295, 385) \(= 35\) सेमी (\(1295 = 3 \times 385 + 140\); \(385 = 2 \times 140 + 105\); \(140 = 105 + 35\); \(105 = 3 \times 35\))
टाइलें \(= \frac{1295}{35} \times \frac{385}{35} = 37 \times 11 = 407\)

दो संख्याओं का योग 140 है। यदि उनका LCM 240 और HCF 20 है, तो छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।

Explanation:

संख्याएँ \(20a\) और \(20b\): \(a + b = 7\), \(20ab = 240 \Rightarrow ab = 12\)
\(a, b = 3, 4\), अतः संख्याएँ 60 और 80
छोटी संख्या \(= 60\)

यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 12 है और उन्हीं दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 48 है, तो इन संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल क्या होगा?

Explanation:

गुणनफल \(= 12 \times 48 = 576\)
वर्गमूल \(= \sqrt{576} = 24\)

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 90 है, जबकि उनका महत्तम समापवर्तक 6 है। यदि एक संख्या दूसरी से 12 अधिक है, तो बड़ी संख्या है।

Explanation:

संख्याएँ \(6a\) और \(6b\): \(6ab = 90 \Rightarrow ab = 15\), और \(6(a – b) = 12 \Rightarrow a – b = 2\)
\(a = 5,\ b = 3\), अतः संख्याएँ 30 और 18
बड़ी संख्या \(= 30\)

तीन संख्याएँ एक दूसरे से सह-अभाज्य हैं जैसे कि पहली दो संख्याओं का गुणनफल 88 है और अंतिम दो संख्याओं का गुणनफल 165 है। तीनों संख्याओं का योग क्या है?

Explanation:

माना संख्याएँ \(p, q, r\): \(pq = 88 = 2^3 \times 11\), \(qr = 165 = 3 \times 5 \times 11\)
\(q\) दोनों में उभयनिष्ठ है और सह-अभाज्यता के कारण \(q = 11\)
\(p = 8\), \(r = 15\)
योग \(= 8 + 11 + 15 = 34\)

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 21 है और उनका लघुत्तम समापवर्त्य, महत्तम समापवर्त्य का 221 गुना है। यदि दो संख्याओं में से एक 200 और 300 के बीच में है, तो दूसरी संख्या के अंकों का योग है:

Explanation:

संख्याएँ \(21a\) और \(21b\): LCM \(= 21ab = 221 \times 21 \Rightarrow ab = 221 = 13 \times 17\)
सह-अभाज्य युग्म: \((1, 221)\) और \((13, 17)\)
संख्याएँ \((21 \times 13,\ 21 \times 17) = (273,\ 357)\) या \((21,\ 4641)\); 200 से 300 के बीच केवल 273 है।
दूसरी संख्या \(= 357\), अंकों का योग \(= 3 + 5 + 7 = 15\)

दो संख्याएँ \(x\) और \(y\) का लघुत्तम समापवर्त्य उनके महत्तम समापवर्तक से 204 गुना है। यदि उनका महत्तम समापवर्तक 12 तथा संख्याओं के बीच का अंतर 60 है, तो \(x + y\) = ?

348
660
426
852

Explanation:

संख्याएँ \(12a\) और \(12b\): \(ab = 204\) और \(a – b = \frac{60}{12} = 5\)
\(a = 17,\ b = 12\) (\(17 \times 12 = 204\), अंतर \(= 5\), सह-अभाज्य ✓)
\(x + y = 12(17 + 12) = 12 \times 29 = 348\)

दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) का योग तथा उनके बीच का अंतर क्रमशः 512 और 496 है। यदि उनमें से एक संख्या 72 है, तो दूसरी संख्या कौन-सी है?

Explanation:

LCM + HCF \(= 512\) और LCM − HCF \(= 496\)
LCM \(= 504\), HCF \(= 8\)
दूसरी संख्या \(= \frac{8 \times 504}{72} = 56\)

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक उनके लघुत्तम समापवर्तक का बीसवाँ हिस्सा है। यदि एक संख्या 96 है और लघुत्तम समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक का अंतर 456 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

120
48
144
72

Explanation:

HCF \(= \frac{\text{LCM}}{20}\), इसलिए LCM − HCF \(= \frac{19}{20}\,\text{LCM} = 456 \Rightarrow\) LCM \(= 480\), HCF \(= 24\)
दूसरी संख्या \(= \frac{24 \times 480}{96} = 120\)

\((x, y)\) धनात्मक पूर्णांकों का एक युग्म इस प्रकार है कि म.स. \((x, y)\) + ल.स. \((x, y) = 187\) और \(x > y\) है। उपरोक्त प्रश्न, तथा नीचे दिए गए कथनों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन-सा विकल्प सही है?
कथन 1: म.स. \((x, y)\) के तीन संभावित मान हैं।
कथन 2: \((x + y)\) का न्यूनतम मान 37 है।
कथन 3: \((x, y)\) के 7 युग्म हैं जो दी गई शर्तों को पूरा करते हैं।

तीनों कथन सत्य हैं।
कथन 1 असत्य है लेकिन कथन 2 और 3 सत्य हैं।
केवल 1 और 2 सत्य हैं।
कथन 1 और 3 सत्य हैं लेकिन कथन 2 असत्य है।

Explanation:

माना HCF \(= h\), \(x = ha\), \(y = hb\) (\(a > b\), सह-अभाज्य): LCM \(= hab\)
\(h + hab = 187 \Rightarrow h(1 + ab) = 187 = 11 \times 17\), अतः \(h \in \{1, 11, 17\}\) (187 लेने पर \(ab = 0\) आता है, जो संभव नहीं)
\(h = 1\): \(ab = 186\), सह-अभाज्य युग्म \((186,1), (93,2), (62,3), (31,6)\), यानी 4 युग्म
\(h = 11\): \(ab = 16\), केवल \((16, 1)\), यानी 1 युग्म
\(h = 17\): \(ab = 10\), युग्म \((10,1), (5,2)\), यानी 2 युग्म
कथन 1: HCF के 3 मान (1, 11, 17) ✓ सत्य
कथन 3: कुल युग्म \(= 4 + 1 + 2 = 7\) ✓ सत्य
कथन 2: \(x + y\) का न्यूनतम मान \(h = 1\) और \((31, 6)\) पर \(= 37\) ✓ सत्य (अन्य: \(h=17\) पर \((85, 34)\) से 119, \(h=11\) पर \((176, 11)\) से 187)
अतः तीनों कथन सत्य हैं।