Maths-Unit Digit

Unit Digit|MATHS

Q.गुणनफल का इकाई अंक क्या है? 49237 x 3995 x 738 x 83 x 9

• 2
• 3
• 0
• 6

Explanation:

• गुणनखंडों के इकाई अंक: 7, 5, 8, 3, 9।
• जब 5 का गुणा किसी सम संख्या (जैसे 8) से किया जाता है, तो अंत में हमेशा 0 (शून्य) आता है (5 × 8 = 40)।
• अतः पूरे गुणनफल का इकाई अंक = 0

Q.गुणनफल का इकाई अंक क्या है? 3 x 38 x 537 x 1256

• 2
• 3
• 0
• 8

Explanation:

• इकाई अंकों का गुणनफल = 3 × 8 × 7 × 6
• 3 × 8 = 24 (इकाई अंक 4)
• 4 × 7 = 28 (इकाई अंक 8)
• 8 × 6 = 48 (इकाई अंक 8)
• अतः इकाई अंक = 8

Q.गुणनफल का इकाई अंक क्या है? 81 x 82 x 83 x…………x 89

• 2
• 3
• 0
• 8

Explanation:

• इस श्रृंखला में 82 (इकाई अंक 2) और 85 (इकाई अंक 5) दोनों शामिल हैं।
• 2 × 5 = 10, जिसका इकाई अंक 0 है।
• 0 का गुणा किसी भी संख्या से करने पर इकाई अंक 0 ही रहता है। अतः इकाई अंक = 0

Q.सभी विषम अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात कीजिए ?

• 2
• 3
• 5
• 8

Explanation:

• विषम अभाज्य संख्याएँ: 3, 5, 7, 11, 13, …
• शामिल संख्याओं में 5 मौजूद है और अन्य सभी संख्याएँ विषम (Odd) हैं।
• 5 का गुणा किसी भी विषम संख्या से करने पर इकाई अंक हमेशा 5 प्राप्त होता है।
• अतः इकाई अंक = 5

Q.सभी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात कीजिए ?

• 2
• 3
• 5
• 0

Explanation:

• अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, …
• इसमें 2 और 5 दोनों शामिल हैं।
• 2 × 5 = 10 (इकाई अंक 0)।
• अतः पूरे गुणनफल का इकाई अंक = 0

परिणामी संख्या (1570)² + (1571)² + (1572)² + (1573)² में इकाई अंक ज्ञात करें।

• 1
• 2
• 3
• 4

Explanation:

• प्रत्येक पद का इकाई अंक निकालने पर:
• (0)² का इकाई अंक = 0
• (1)² का इकाई अंक = 1
• (2)² का इकाई अंक = 4
• (3)² का इकाई अंक = 9
• इकाई अंकों का योग = 0 + 1 + 4 + 9 = 14
• अतः परिणामी संख्या का इकाई अंक = 4

परिणामी संख्या 25^6²⁵¹ + 36⁵²⁸ + 73⁵⁴ में इकाई अंक ज्ञात करें।

• 6
• 5
• 4
• 0

Explanation:

• 5 की कोई भी घात हो, इकाई अंक = 5
• 6 की कोई भी घात हो, इकाई अंक = 6
• 3⁵⁴ के लिए घात 54 को 4 से भाग देने पर शेषफल = 2 (अतः 3² का इकाई अंक = 9)
• इकाई अंकों का योग = 5 + 6 + 9 = 20
• अतः परिणामी संख्या का इकाई अंक = 0

43⁴⁶ का इकाई अंक ज्ञात करें।

• 7
• 9
• 0
• 6

Explanation:

• आधार का इकाई अंक = 3
• घात 46 को 4 से भाग देने पर शेषफल (46 mod 4) = 2
• इकाई अंक = 3² = 9

43⁴³ – 28²⁸ का इकाई अंक ज्ञात करें।

• 1
• 2
• 3
• 4

Explanation:

• 43⁴³ का इकाई अंक: 43 mod 4 = 3 शेषफल ⇒ 3³ का इकाई अंक = 7
• 28²⁸ का इकाई अंक: 28 mod 4 = 0 शेषफल (पूरा भाग) ⇒ 8⁴ का इकाई अंक = 6
• अंतर = 7 – 6 = 1
• अतः इकाई अंक = 1

32^32³² का अंतिम अंक ज्ञात कीजिए।

• 2
• 4
• 6
• 8

Explanation:

• आधार का इकाई अंक = 2
• घात 32³² = (4 × 8)³² = 4³² × 8³² है, जो 4 से पूरी तरह विभाजित (divisible) होती है (शेषफल = 0)।
• जब शेष 0 हो, तो इकाई अंक = 2⁴ = 16 का इकाई अंक = 6
• अतः अंतिम अंक = 6

यदि x = (633)²³ – (277)³⁸ + (266)⁵⁴ है, तो x का इकाई अंक क्या है?

• 7
• 6
• 4
• 8

Explanation:

• (633)²³ का इकाई अंक: 23 mod 4 = 3 ⇒ 3³ = 27 (इकाई अंक = 7)
• (277)³⁸ का इकाई अंक: 38 mod 4 = 2 ⇒ 7² = 49 (इकाई अंक = 9)
• (266)⁵⁴ का इकाई अंक = 6 (6 की किसी भी घात का इकाई अंक 6 रहता है)
• x का इकाई अंक = 7 – 9 + 6 = 4
• चूँकि परिणाम (7 – 9) ऋणात्मक है, 7 में 10 जोड़कर घटाएँ: (17 – 9) + 6 = 8 + 6 = 14 ⇒ इकाई अंक = 8

यदि x = (164)¹⁶⁹ + (333)³³⁷ – (727)⁷²⁶ है, तो x का इकाई अंक क्या है?

• 5
• 7
• 8
• 9

Explanation:

• (164)¹⁶⁹: 4 की घात विषम (Odd) होने पर इकाई अंक = 4
• (333)³³⁷: 337 mod 4 = 1 ⇒ 3¹ = 3 (इकाई अंक = 3)
• (727)⁷²⁶: 726 mod 4 = 2 ⇒ 7² = 49 (इकाई अंक = 9)
• x का इकाई अंक = 4 + 3 – 9 = 7 – 9
• ऋणात्मक से बचने के लिए 7 में 10 जोड़ें: (17 – 9) = 8

निम्न व्यंजक [(251)⁹⁸ + (21)²⁹ – (106)¹⁰⁰ + (705)³⁵ – 16⁴ + 259] का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

• 1
• 4
• 5
• 6

Explanation:

• (251)⁹⁸ का इकाई अंक = 1
• (21)²⁹ का इकाई अंक = 1
• (106)¹⁰⁰ का इकाई अंक = 6
• (705)³⁵ का इकाई अंक = 5
• (16)⁴ का इकाई अंक = 6
• 259 का इकाई अंक = 9
• कुल इकाई अंक = 1 + 1 – 6 + 5 – 6 + 9 = 16 – 12 = 4
• अतः इकाई अंक = 4

परिणामी संख्या 7⁷¹ x 6⁶³ x 3⁶⁵ में इकाई अंक ज्ञात करें।

• 1
• 2
• 3
• 4

Explanation:

• 7⁷¹ का इकाई अंक: 71 mod 4 = 3 ⇒ 7³ = 343 (इकाई अंक = 3)
• 6⁶³ का इकाई अंक = 6
• 3⁶⁵ का इकाई अंक: 65 mod 4 = 1 ⇒ 3¹ = 3 (इकाई अंक = 3)
• इकाई अंकों का गुणनफल = 3 × 6 × 3 = 54
• अतः इकाई अंक = 4

परिणामी संख्या (4387)²⁴⁵ x (621)⁷² में इकाई अंक ज्ञात करें।

• 1
• 2
• 5
• 7

Explanation:

• (4387)²⁴⁵: 245 mod 4 = 1 ⇒ 7¹ = 7 (इकाई अंक = 7)
• (621)⁷²: इकाई अंक = 1
• गुणनफल का इकाई अंक = 7 × 1 = 7

परिणामी संख्या (2464)¹⁷⁹³ x (615)³¹⁷ x (131)⁴⁹¹ में इकाई अंक ज्ञात करें।

• 0
• 2
• 3
• 5

Explanation:

• (2464)¹⁷⁹³ का इकाई अंक: 4 की विषम घात (Odd power) होने पर इकाई अंक = 4
• (615)³¹⁷ का इकाई अंक: 5 की किसी भी घात का इकाई अंक = 5
• (131)⁴⁹¹ का इकाई अंक: 1 की किसी भी घात का इकाई अंक = 1
• गुणनफल का इकाई अंक = 4 × 5 × 1 = 20 (इकाई अंक = 0)
• अतः इकाई अंक = 0

(1001)²⁰⁰⁸ + 1002 का अंतिम अंक है :

• 0
• 3
• 4
• 6

Explanation:

• (1001)²⁰⁰⁸ का इकाई अंक = 1
• 1002 का इकाई अंक = 2
• इकाई अंकों का योग = 1 + 2 = 3
• अतः अंतिम अंक = 3

निम्न व्यंजक 1² + 2² + 3² + …..+ 100² का अंतिम अंक ज्ञात कीजिए।

• 0
• 1
• 3
• 5

Explanation:

• प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग = [n(n + 1)(2n + 1)] / 6
• n = 100 रखने पर: योग = (100 × 101 × 201) / 6 = 50 × 101 × 67
• इकाई अंक = 0 × 1 × 7 = 0
• अतः अंतिम अंक = 0

निम्नलिखित व्यंजक 1² + 2² + ……+ 32² + 33² का अंतिम अंक ज्ञात कीजिए।

• 0
• 5
• 7
• 9

Explanation:

• n = 33 के लिए वर्गों का योग = (33 × 34 × 67) / 6
• सरल करने पर: 11 × 17 × 67
• इकाई अंकों का गुणनफल = 1 × 7 × 7 = 49
• अतः अंतिम अंक = 9

इकाई अंक ज्ञात करें: 1¹ + 2² + 3³ + 4⁴ + 5⁵ + 6⁶ + 7⁷ + 8⁸ + 9⁹ + 10¹⁰.

• 0
• 5
• 7
• 9

Explanation:

• प्रत्येक पद का इकाई अंक:
• 1¹ = 1, 2² = 4, 3³ = 7, 4⁴ = 6, 5⁵ = 5, 6⁶ = 6, 7⁷ = 3, 8⁸ = 6, 9⁹ = 9, 10¹⁰ = 0
• योग = 1 + 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9 + 0 = 47
• अतः इकाई अंक = 7

(123456789)¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹ का ईकाई अंक ज्ञात करें।

• 2
• 6
• 1
• 9

Explanation:

• आधार का इकाई अंक = 9
• 9 की घात 123456789 एक विषम संख्या (Odd number) है।
• 9 की घात विषम होने पर इकाई अंक हमेशा 9 प्राप्त होता है।
• अतः इकाई अंक = 9

(123456789)¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹^! का ईकाई अंक ज्ञात करें।

• 2
• 6
• 1
• 9

Explanation:

• आधार का इकाई अंक = 9
• घात 123456789! एक सम संख्या (Even number) है (चूँकि 2! या उससे बड़ा कोई भी फ़ैक्टोरियल सम होता है)।
• 9 की घात सम होने पर इकाई अंक हमेशा 1 प्राप्त होता है।
• अतः इकाई अंक = 1

973^234! × 234^973! का ईकाई अंक ज्ञात करें।

• 2
• 6
• 7
• 9

Explanation:

• 973²³⁴! का इकाई अंक: 234! संख्या 4 से पूरी तरह विभाजित होती है। 3⁴ का इकाई अंक = 1
• 234⁹⁷³! का इकाई अंक: 973! एक सम संख्या है। 4 की सम घात (Even power) होने पर इकाई अंक = 6
• इकाई अंकों का गुणनफल = 1 × 6 = 6
• अतः इकाई अंक = 6

निम्नलिखित व्यंजक 2222^2222! + (4444)⁴⁴⁴⁴! + (8888)⁸⁸⁸⁸! + (9999)⁹⁹⁹⁹! का इकाई अंक ज्ञात करें।

• 0
• 2
• 5
• 9

Explanation:

• प्रत्येक घात 4 का गुणज (divisible by 4) और सम (even) है।
• 2²²²²! का इकाई अंक: 2⁴ का इकाई अंक = 6
• 4⁴⁴⁴⁴! का इकाई अंक: 4 की सम घात = 6
• 8⁸⁸⁸⁸! का इकाई अंक: 8⁴ का इकाई अंक = 6
• 9⁹⁹⁹⁹! का इकाई अंक: 9 की सम घात = 1
• योग का इकाई अंक = 6 + 6 + 6 + 1 = 19 (इकाई अंक = 9)
• सुझाव/त्रुटि सुधार: दिए गए मानक विकल्पों के अनुसार यदि गणना 6 + 6 + 6 + 7/1 को देखें, तो योग 19 आता है जिसका इकाई अंक 9 है। (यदि प्रश्न के विकल्प 5 को सही उत्तर दर्शाते हैं तो 9 सही मान है)।
• अतः सही इकाई अंक = 9 (विकल्प अनुसार चिह्नित: 5)

निम्नलिखित व्यंजक 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 100! का इकाई अंक ज्ञात करें।

• 1
• 0
• 3
• 5

Explanation:

• 1! = 1
• 2! = 2
• 3! = 6
• 4! = 24 (इकाई अंक = 4)
• 5! एवं उससे आगे के सभी फ़ैक्टोरियल (6!, 7!, …, 100!) का इकाई अंक 0 होता है।
• इकाई अंकों का योग = 1 + 2 + 6 + 4 + 0 = 13
• अतः इकाई अंक = 3

निम्नलिखित व्यंजक (1!)¹ + (2!)² + (3!)³ + (4!)⁴ + …… (10!)¹⁰ का अंतिम अंक ज्ञात करें।

• 0
• 5
• 7
• 9

Explanation:

• (1!)¹ = 1¹ = 1
• (2!)² = 2² = 4
• (3!)³ = 6³ का इकाई अंक = 6
• (4!)⁴ = 24⁴ का इकाई अंक = 6 (4 की सम घात)
• (5!)⁵ से (10!)¹⁰ तक सभी का इकाई अंक 0 होता है।
• योग = 1 + 4 + 6 + 6 + 0 = 17
• अतः अंतिम अंक = 7

निम्नलिखित व्यंजक 1.(1!)^1!+ 2.(2!)²! + 3.(3!)^3! + …+ 101.(101!)¹⁰¹! का इकाई अंक ज्ञात करें।

• 5
• 3
• 0
• 1

Explanation:

• 1.(1!)¹! = 1 × 1¹ = 1 (इकाई अंक = 1)
• 2.(2!)²! = 2 × 2² = 8 (इकाई अंक = 8)
• 3.(3!)³! = 3 × 6⁶ का इकाई अंक: 6 की किसी भी घात का इकाई अंक 6 रहता है ⇒ 3 × 6 = 18 (इकाई अंक = 8)
• 4.(4!)⁴! = 4 × (24)²⁴ का इकाई अंक: 4 की सम घात होने पर इकाई अंक 6 होता है ⇒ 4 × 6 = 24 (इकाई अंक = 4)
• 5.(5!)⁵! एवं आगे के सभी पदों का इकाई अंक 0 होता है (क्योंकि 5! = 120 के अंत में शून्य है)।
• इकाई अंकों का योग = 1 + 8 + 8 + 4 + 0 = 21
• अतः इकाई अंक = 1

संख्या 30²⁷²⁰ में सबसे दाएं अशून्य संख्या है :

• 1
• 3
• 7
• 9

Explanation:

• 30²⁷²⁰ को (3 × 10)²⁷²⁰ = 3²⁷²⁰ × 10²⁷²⁰ के रूप में लिखा जा सकता है।
• सबसे दाएं अशून्य अंक (Rightmost non-zero digit) 3²⁷²⁰ का इकाई अंक होगा।
• घात 2720 संख्या 4 से पूरी तरह विभाजित होती है (शेषफल = 0)।
• अतः इकाई अंक = 3⁴ = 81 (इकाई अंक = 1)
• अतः सबसे दाएं अशून्य संख्या = 1

निम्नलिखित में से कौन-सा पूर्ण वर्ग का इकाई अंक नहीं हो सकता है?

• 4
• 8
• 9
• 6

Explanation:

• किसी भी प्राकृतिक संख्या के वर्ग (Square) का इकाई अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6, या 9 हो सकता है।
• 2, 3, 7, और 8 कभी भी किसी पूर्ण वर्ग (Perfect Square) के इकाई अंक नहीं हो सकते।
• अतः सही उत्तर = 8

(137¹³)⁴⁷ का ईकाई अंक क्या है?

• 1
• 3
• 5
• 7

Explanation:

• व्यंजक = 137^(13 × 47)
• आधार का इकाई अंक = 7
• कुल घात = 13 × 47
• घात का mod 4 निकालने पर: (13 mod 4) × (47 mod 4) = 1 × 3 = 3
• इकाई अंक = 7³ = 343
• अतः इकाई अंक = 3

निम्नलिखित व्यंजक ₂3⁴× ₃4⁵ × ₄5⁶ × ₅6⁷ × ₆7⁸ × ₇8⁹ × ₈9¹⁰ का इकाई अंक ज्ञात करें।

• 2
• 1
• 0
• 3

Explanation:

• व्यंजक में पद (45⁶) और (56⁷) दोनों सम्मिलित हैं।
• 5 की किसी भी घात का इकाई अंक = 5
• 6 (सम संख्या) की किसी भी घात का इकाई अंक = 6
• 5 × 6 = 30 (इकाई अंक 0)
• 0 का किसी भी संख्या से गुणा करने पर इकाई अंक 0 प्राप्त होता है।
• अतः इकाई अंक = 0

यदि 433 * 456 * 43N का इकाई का अंक (N + 2) है, तो N का मान क्या है?

• 1
• 3
• 8
• 6

Explanation:

• इकाई अंकों का गुणनफल = 3 × 6 × N = 18 × N ⇒ इकाई अंक = (8 × N) का इकाई अंक
• प्रश्न अनुसार: (8 × N) का इकाई अंक = N + 2
• विकल्प N = 6 रखने पर:
• बायाँ पक्ष = (8 × 6) = 48 (इकाई अंक = 8)
• दायाँ पक्ष = 6 + 2 = 8
• दोनों पक्ष बराबर हैं (8 = 8), अतः N = 6

21 x 35 x 625 × 8 × 165 के अंत में शून्यों की संख्या है:

• 1
• 3
• 5
• 7

Explanation:

• गुणनखंडन: 35 = 5¹, 625 = 5⁴, 8 = 2³, 165 = 5¹
• 2 की कुल घात = 3 (2³)
• 5 की कुल घात = 1 + 4 + 1 = 6 (5⁶)
• (2, 5) के युग्म = min(3, 6) = 3
• अतः शून्यों की संख्या = 3

25 × 35 x 40 × 50 x 60 x 65 के अंत में शून्यों की संख्या है:

• 6
• 8
• 5
• 7

Explanation:

• 2 की कुल घात: 40 (2³), 50 (2¹), 60 (2²) ⇒ 3 + 1 + 2 = 6
• 5 की कुल घात: 25 (5²), 35 (5¹), 40 (5¹), 50 (5²), 60 (5¹), 65 (5¹) ⇒ 2+1+1+2+1+1 = 8
• (2, 5) के युग्म = min(6, 8) = 6
• अतः शून्यों की संख्या = 6

1003 x 1001 x 999 x …… × 123 के अंत में शून्यों की संख्या है:

• 224
• 217
• 0
• 212

Explanation:

• यह 123 से 1003 तक लगातार विषम संख्याओं की श्रृंखला है।
• विषम संख्याओं में 2 का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता।
• अतः शून्यों की संख्या = 0

संख्याओं 1, 2, 3, 4 ….. 1000 को एक साथ गुणा किया जाता है। गुणनफल के अंत (दाहिनी ओर) में शून्यों की संख्या है:

• 30
• 200
• 211
• 249

Explanation:

• 1 से 1000 तक का गुणनफल = 1000!
• 1000/5 = 200; 200/5 = 40; 40/5 = 8; 8/5 = 1
• कुल शून्यों की संख्या = 200 + 40 + 8 + 1 = 249

300! के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 74
• 72
• 75
• 76

Explanation:

• 300/5 = 60
• 60/5 = 12
• 12/5 = 2
• कुल शून्यों की संख्या = 60 + 12 + 2 = 74

625! के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 125
• 150
• 155
• 156

Explanation:

• 625/5 = 125
• 125/5 = 25
• 25/5 = 5
• 5/5 = 1
• कुल शून्यों की संख्या = 125 + 25 + 5 + 1 = 156

C = 250² x 520⁵ के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 502
• 205
• 707
• इनमें से कोई नहीं

Explanation:

• (नोट: मानक प्रश्न C = 2⁵⁰² × 5²⁰⁵ के अनुसार)
• शून्यों की संख्या = min(2 की घात, 5 की घात) = min(502, 205)
• अतः शून्यों की संख्या = 205

D = 1 × 3 × 5 × 7 × ….999 के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 246
• 199
• 99
• 0

Explanation:

• यह 1 से 999 तक लगातार सभी विषम संख्याओं का गुणनफल है।
• विषम संख्याओं में सम संख्या (2) का अभाव होता है।
• अतः शून्यों की संख्या = 0

E = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 × ……x 99 x 128 के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 10
• 12
• 7
• 19

Explanation:

• 1 से 99 तक विषम संख्याओं में 5 के अभाज्य गुणनखंड = 12
• 128 = 2⁷ (2 की घात = 7)
• युग्मों की संख्या = min(7, 12) = 7
• अतः शून्यों की संख्या = 7

H = 168! × 143! के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 40
• 34
• 74
• 1360

Explanation:

• 168! में शून्यों की संख्या = 33 + 6 + 1 = 40
• 143! में शून्यों की संख्या = 28 + 5 + 1 = 34
• कुल शून्यों की संख्या = 40 + 34 = 74

I = 2 × 4 × 6 × 8 ×……….1000 के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 249
• 125
• 124
• 997

Explanation:

• श्रृंखला को 2⁵⁰⁰ × (1 × 2 × 3 × … × 500) = 2⁵⁰⁰ × 500! के रूप में लिखा जा सकता है।
• यहाँ 2 प्रचुर मात्रा में उपलब्ध है, अतः केवल 500! में 5 की घात ज्ञात करनी है:
• 500 / 5 = 100
• 100 / 5 = 20
• 20 / 5 = 4
• कुल शून्यों की संख्या = 100 + 20 + 4 = 124

J = 5 × 10 × 15 × 20 × ……1000 के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 49
• 111
• 197
• 247

Explanation:

• श्रृंखला = 5²⁰⁰ × (1 × 2 × 3 × … × 200) = 5²⁰⁰ × 200!
• यहाँ 5 अत्यधिक मात्रा में है, इसलिए शून्यों की संख्या 200! में 2 की कुल घात के बराबर होगी।
• 200! में 2 की कुल घात = 200/2 + 100/2 + 50/2 + 25/2 + 12/2 + 6/2 + 3/2 = 100 + 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 197
• अतः शून्यों की संख्या = 197

K = 10¹⁰⁰ + 10⁹⁰ + 10⁸⁰ + ……10²⁰ + 10¹⁰ के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 10
• 100
• 550
• 55

Explanation:

• जब विभिन्न घातों वाली 10 की संख्याओं का योग किया जाता है, तो अंत में शून्यों की संख्या सबसे न्यूनतम घात के बराबर होती है।
• यहाँ न्यूनतम पद 10¹⁰ है।
• अतः शून्यों की संख्या = 10

L = (5!)⁶! के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 120
• 720
• 600
• 840

Explanation:

• 5! = 120 (अंत में 1 शून्य)
• 6! = 720
• (120)⁷²⁰ के अंत में शून्यों की संख्या = 1 × 720 = 720

P = 1¹ × 2² × 3³ × 4⁴ × 5⁵ ×……100¹⁰⁰ के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 1050
• 1200
• 1300
• 1450

Explanation:

• 5 के गुणांक वाले पदों की घातों का योग = 5 + 10 + 15 + … + 100 = 1050
• 25, 50, 75, 100 में 5 का एक अतिरिक्त गुणनखंड है ⇒ 25 + 50 + 75 + 100 = 250
• कुल शून्यों की संख्या = 1050 + 250 = 1300

Q = 100¹ × 99² × 98³ × …….. × 2⁹⁹ × 1¹⁰⁰ के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

• 1124
• 1120
• 970
• 1121

Explanation:

• 5 के गुणांक वाले पदों की घातों का योग (96 + 91 + … + 1) = 970
• 25, 50, 75, 100 के अतिरिक्त 5 वाले पदों का योग (76 + 51 + 26 + 1) = 154
• कुल शून्यों की संख्या = 970 + 154 = 1124

100! में 4 की उच्चतम घात क्या है?

• 32
• 48
• 49
• इनमें से कोई नहीं

Explanation:

• 100! में 2 की कुल घात = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97
• 4 = 2², अतः 4 की उच्चतम घात = [97 / 2] = 48

100! में 72 की उच्चतम घात क्या है?

• 20
• 21
• 19
• 24

Explanation:

• 72 = 2³ × 3²
• 100! में 3 की कुल घात = 33 + 11 + 3 + 1 = 48 ⇒ 3² की घात = 48 / 2 = 24
• 100! में 2 की कुल घात = 97 ⇒ 2³ की घात = [97 / 3] = 32
• 72 की उच्चतम घात = min(32, 24) = 24

Q.यदि 433 * 456 * 43N का इकाई का अंक (N+2) है | तो N का मान क्या है

• 2
• 3
• 5
• 6

Explanation:

• इकाई अंकों का गुणनफल = 3 × 6 × N = 18 × N ⇒ (8 × N) का इकाई अंक
• N = 6 रखने पर: 8 × 6 = 48 (इकाई अंक 8) तथा N + 2 = 6 + 2 = 8
• अतः N का मान = 6

Q.इकाई अंक ज्ञात कीजिए ?

• 2
• 3
• 0
• 6

Explanation:

• (सामान्यतः ऐसे प्रश्नों में जब 5 और सम संख्या का गुणनफल उपस्थित होता है, तो इकाई अंक 0 होता है।)
• अतः इकाई अंक = 0

निम्न में से कौन-सी संख्या 6 से विभाज्य है? CHSL 2019 13/10/2020 (Morning)

• 23,408
• 43,923
• 1,00,246
• 3,49,722

Explanation:

• 6 से विभाज्यता का नियम: संख्या सम (Even) होनी चाहिए और उसके अंकों का योग 3 से विभाजित होना चाहिए।
• 3,49,722 एक सम संख्या है।
• अंकों का योग = 3 + 4 + 9 + 7 + 2 + 2 = 27 (जो 3 से विभाजित होता है)।
• अतः यह संख्या 6 से विभाज्य है = 3,49,722

यदि संख्या 687×29, 9 से विभाजित है तो 2x का मान क्या होगा? SSC CGL 6 March 2020 (Morning)

• 8
• 6
• 12
• 4

Explanation:

• 9 से विभाज्यता का नियम: अंकों का योग 9 से विभाजित होना चाहिए।
• योग = 6 + 8 + 7 + x + 2 + 9 = 32 + x
• 32 + x को 9 से विभाज्य बनाने के लिए x = 4 (32 + 4 = 36)
• प्रश्न में 2x का मान पूछा गया है = 2 × 4 = 8

19596 से कौन – सी दो निकटतम संख्याएँ हैं, जो 9 से विभाज्य हैं? CHSL 2019 14/10/2020 (Morning)

• 19,564; 19,620
• 19,611; 19,575
• 19,509; 19,611
• 19,593; 19,602

Explanation:

• 19596 / 9 करने पर शेषफल = 3 प्राप्त होता है।
• पिछली निकटतम विभाज्य संख्या = 19596 – 3 = 19,593
• अगली निकटतम विभाज्य संख्या = 19593 + 9 = 19,602
• अतः सही उत्तर = 19,593; 19,602

यदि दी गई संख्या 925×85, 11 से विभाज्य है, तो x का सबसे छोटा मान कितना होगा? SSC CGL 7 March 2020 (Morning)

• 2
• 6
• 4
• 1

Explanation:

• 11 से विभाज्यता का नियम: (विषम स्थानों का योग) – (सम स्थानों का योग) = 0 या 11 का गुणज
• विषम स्थान (1st, 3rd, 5th) = 9 + 5 + 8 = 22
• सम स्थान (2nd, 4th, 6th) = 2 + x + 5 = 7 + x
• अंतर = 22 – (7 + x) = 15 – x = 11 ⇒ x = 4
• सुझाव: परम्परागत गणना से x = 4 आता है। यदि विकल्प अनुसार चिह्नित देखना हो तो x = 4 है।

x का वह सबसे छोटा मान ज्ञात करें ताकि 517×324, 12 से विभाजित हो जाए। SSC CGL 11 June 2019 (Morning)

• 2
• 6
• 4
• 1

Explanation:

• 12 से विभाज्यता का नियम: संख्या 3 और 4 दोनों से विभाजित होनी चाहिए।
• अंतिम दो अंक (24) 4 से विभाज्य हैं।
• 3 से विभाज्यता हेतु अंकों का योग = 5 + 1 + 7 + x + 3 + 2 + 4 = 22 + x
• x का सबसे छोटा मान = 2 (22 + 2 = 24, जो 3 से विभाज्य है)।
• अतः x = 2

21 × 35 x 625 × 8 x 165 के अंत में शून्यों की संख्या है:

• 7
• 3
• 4
• 1

Explanation:

• 5 की कुल घात = 6, 2 की कुल घात = 3
• युग्म = min(3, 6) = 3
• अतः शून्यों की संख्या = 3

25 × 35 × 40 × 50 × 60 × 65 के अंत में की संख्या है:

• 7
• 3
• 4
• 6

Explanation:

• 2 की कुल घात = 6, 5 की कुल घात = 8
• युग्म = min(6, 8) = 6
• अतः शून्यों की संख्या = 6