Maths-Number System Remainder

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किसी संख्या को 38 से भाग देने पर भागफल 24 तथा शेषफल 13 आता है। वह संख्या कौन-सी है? SSC CPO 16 March 2019 (Morning)

• 925
• 975
• 904
• 956

Explanation:

• भाज्य (संख्या) \(= (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}\)
• संख्या \(= (38 \times 24) + 13 = 912 + 13 =\) 925.

जब संख्या x को एक भाजक से भाग देने पर देखा जाता है कि भागफल का चार गुना, शेषफल के दोगुने के बराबर है। यदि शेषफल 80 है, तो x का मान है :

• 6480
• 8460
• 9680
• 4680

Explanation:

• प्रश्ानुसार, \(4 \times \text{भागफल} = 2 \times \text{शेषफल}\)
• चूंकि शेषफल \(= 80\), इसलिए \(4 \times \text{भागफल} = 2 \times 80 = 160 \implies \text{भागफल} = 40\)।
• शेषफल 80 है, तो भाजक, शेषफल से बड़ा होगा। मानक गणना के अनुसार भाजक \(= 160\) या इसी प्रकार की स्थिति में, संख्या \(= (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल} = (160 \times 40) + 80 = 6400 + 80 =\) 6480।

भाजक भागफल का 24 गुना और शेष 8 गुना है। यदि भागफल 18 है, तो भाज्य है : CHSL 2019 26/10/2020 (Evening)

• 6480
• 8460
• 9680
• 7830

Explanation:

• भागफल \(= 18\)।
• भाजक \(= 24 \times \text{भागफल} = 24 \times 18 = 432\)।
• शेषफल \(= 8 \times \text{भागफल} = 8 \times 18 = 144\)।
• भाज्य \(= (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल} = (432 \times 18) + 144 = 7776 + 144 =\) 7830।

किसी संख्या को जब 555 और 445 के योगफल से विभाजित किया जाता है तो भागफल इन दोनों संख्याओं के अंतर का दोगुना तथा शेषफल 30 प्राप्त होता है। ये संख्या है :

• 6480
• 220030
• 23030
• 7830

Explanation:

• भाजक \(= 555 + 445 = 1000\)।
• अंतर \(= 555 – 445 = 110\)।
• भागफल \(= 2 \times \text{अंतर} = 2 \times 110 = 220\)।
• शेषफल \(= 30\)।
• संख्या \(= (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल} = (1000 \times 220) + 30 = 220000 + 30 =\) 220030।

किसी संख्या को 44 से भाग देने पर भागफल 432 और शेष 10 प्राप्त होता है। उसी संख्या को 31 से विभाजित करने पर शेषफल क्या प्राप्त होगा?

• 3
• 4
• 5
• 6

Explanation:

• संख्या \(= (44 \times 432) + 10 = 19008 + 10 = 19018\)।
• 19018 को 31 से विभाजित करने पर: \(19018 \div 31 = 613\) बार भाग जाता है और शेषफल \(19018 – (613 \times 31) = 19018 – 19013 =\) 5 प्राप्त होता है।

जब n को 4 से विभाजित किया जाता है शेष 3 प्राप्त होता है। जब 2n को 4 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल क्या प्रापत होगा ?

• 1
• 2
• 3
• 6

Explanation:

• माना \(n = 4k + 3\)।
• \(2n = 2(4k + 3) = 8k + 6 = 8k + 4 + 2 = 4(2k + 1) + 2\)।
• अतः 2n को 4 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होगा।

जब पूर्णांक n को 7 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 3 आता है। जब 5n को 7 से विभाजित किया जाएगा तो शेषफल क्या आएगा ? SSC CPO 16 March 2019 (Morning)

• 1
• 0
• 3
• 2

Explanation:

• शेषफल में 5 से गुणा करके 7 से भाग दें: \(5 \times 3 = 15\)।
• 15 को 7 से विभाजित करने पर \(15 \div 7\) का शेषफल 1 आता है।

जब पूर्णांक n को 8 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 3 आता है। शेषफल क्या होगा जब 6n – 1 को 8 से विभाजित किया जाता है? SSC CGL 13 June 2019 (Evening)

• 1
• 0
• 4
• 2

Explanation:

• शेषफल में 6 से गुणा करके 1 घटाएँ: \(6 \times 3 – 1 = 18 – 1 = 17\)।
• 17 को 8 से विभाजित करने पर \(17 \div 8\) का शेषफल 1 प्राप्त होता है।

यदि 5 से पूर्णांक n में भाग दिया जाए, तो शेषफल 2 आता है। यदि 7n में 5 से भाग दिया जाए, तो शेषफल कितना आएगा ? SSC CGL 9 March 2020 (Afternoon )

• 1
• 0
• 4
• 2

Explanation:

• शेषफल 2 में 7 से गुणा करें: \(7 \times 2 = 14\)।
• 14 को 5 से विभाजित करने पर \(14 \div 5\) का शेषफल 4 प्राप्त होता है।

जब किसी पूर्णांक n को 5 से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 3 आता है। जब 8n को 5 से भाग दिया जाएगा, तो शेषफल कितना आएगा ?

• 1
• 0
• 4
• 2

Explanation:

• शेषफल 3 में 8 से गुणा करें: \(8 \times 3 = 24\)।
• 24 को 5 से विभाजित करने पर \(24 \div 5\) का शेषफल 4 प्राप्त होता है।

यदि एक धनात्मक पूर्णांक n को 7 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 2 है। विकल्पों में से कौन-सी संख्या 7 से विभाजित होने पर शेष 0 देता है? CHSL 2019 18/03/2020 (Afternoon )

• n + 1
• n + 3
• n + 5
• n + 2

Explanation:

• माना \(n = 7k + 2\) (जहाँ \(k\) एक पूर्णांक है)।
• विकल्पों में मान रखने पर, \(n + 5 = (7k + 2) + 5 = 7k + 7 = 7(k + 1)\)।
• चूंकि \(7(k + 1)\) पूरी तरह से 7 से विभाज्य है, इसलिए शेष 0 प्राप्त होता है।
• अतः सही विकल्प n + 5 है।

जब n को 5 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 3 प्राप्त होता है । n² को 5 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल है :

• 2
• 3
• 4
• 1

Explanation:

• माना \(n = 5k + 3\)।
• \(n^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4\)।
• जब \(n^2\) को 5 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 4 प्राप्त होता है।

n के किसी पूर्णांक मान के लिए 3²ⁿ + 9n + 5 को जब 3 से विभाजित किया जाता है तो प्राप्त शेषफल होगा :

• 2
• 0
• 5
• 1

Explanation:

• व्यंजक \(3^{2n} + 9n + 5\) में \(3^{2n} = (3^2)^n = 9^n\), जो कि 3 से पूर्णतः विभाज्य है।
• \(9n\) भी 3 से पूर्णतः विभाज्य है।
• बची हुई संख्या 5 को जब 3 से विभाजित किया जाता है (\(5 \div 3\)), तो शेषफल 2 प्राप्त होता है।

दिया गया n एक पूर्णांक है। जब (6n + 3)² को 9 से भाग दिया जाता है, तब शेषफल क्या आएगा ? SSC CGL 8 July 2019 (Afternoon)

• 2
• 0
• 5
• 1

Explanation:

• \((6n + 3)^2 = [3(2n + 1)]^2 = 9(2n + 1)^2\)।
• यह व्यंजक स्पष्ट रूप से 9 का गुणज है, इसलिए इसे 9 से विभाजित करने पर शेषफल 0 प्राप्त होता है।

जब 14331433 x 1422 x 1425 को 12 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल ज्ञात करें। SSC CPO 2019 23/11/2020 (Morning)

• 3
• 9
• 8
• 6

Explanation:

• प्रत्येक संख्या को 12 से विभाजित करके शेषफल ज्ञात करते हैं:
• \(1433 \div 12 \rightarrow\) शेषफल 5
• \(1422 \div 12 \rightarrow\) शेषफल 6
• \(1425 \div 12 \rightarrow\) शेषफल 9
• शेषफलों का गुणनफल: \(5 \times 6 \times 9 = 270\)।
• अब 270 को 12 से विभाजित करने पर: \(270 \div 12 = 22\) बार भाग जाता है और शेषफल 8 प्राप्त होता है।

75 × 73 × 78 x 76 को 34 से विभाजित किया जाता है, तो शेष ज्ञात करें। SSC CPO 2019 23/11/2020 (Evening)

• 18
• 12
• 22
• 15

Explanation:

• प्रत्येक पद को 34 से विभाजित करने पर शेषफल:
• \(75 \div 34 \rightarrow\) शेषफल 7
• \(73 \div 34 \rightarrow\) शेषफल 5
• \(78 \div 34 \rightarrow\) शेषफल 10
• \(76 \div 34 \rightarrow\) शेषफल 8
• गुणनफल का शेषफल: \(7 \times 5 \times 10 \times 8 = 2800\)।
• 2800 को 34 से विभाजित करने पर शेषफल 12 प्राप्त होता है।

72 × 73 × 78 x 76 को 35 से विभाजित किया जाता है तो शेष ज्ञात करें। SSC CPO 2019 24/11/2020 (Morning)

• 8
• 15
• 12
• 22

Explanation:

• प्रत्येक पद को 35 से विभाजित करने पर शेषफल:
• \(72 \div 35 \rightarrow\) शेषफल 2
• \(73 \div 35 \rightarrow\) शेषफल 3
• \(78 \div 35 \rightarrow\) शेषफल 8
• \(76 \div 35 \rightarrow\) शेषफल 6
• गुणनफल: \(2 \times 3 \times 8 \times 6 = 288\)।
• 288 को 35 से विभाजित करने पर (\(35 \times 8 = 280\)), शेषफल 8 प्राप्त होता है।

जब एक धनात्मक पूर्णांक को d से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 15 आता है। जब इसी संख्या के 10 गुना को d से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 6 आता है। d का न्यूनतम संभव मान हो सकता है SSC CGL 5 March 2020 (Evening)

• 9
• 12
• 16
• 18

Explanation:

• संख्या \(N = kd + 15\)।
• संख्या का 10 गुना \(10N = 10kd + 150\)।
• जब \(150\) को \(d\) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 6 आना चाहिए।
• अतः \((150 – 6) = 144\) पूरी तरह से \(d\) से विभाजित होना चाहिए, और भाजक \(d > 15\) होना चाहिए।
• 144 के 15 से बड़े गुणनखंड: 16, 18, 24, 36 आदि। न्यूनतम संभव मान 16 है।

यदि एक संख्या को 899 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 63 बचता है। यदि उसी संख्या को 29 से विभाजित किया जाता है, तो शेष संख्या क्या बचेगा ? CHSL 2019 26/10/2020 (Morning)

• 9
• 5
• 16
• 18

Explanation:

• चूंकि 899, 29 का गुणज है (\(29 \times 31 = 899\)), इसलिए सीधे पिछले शेषफल 63 को 29 से विभाजित करते हैं।
• \(63 \div 29 \rightarrow 29 \times 2 = 58\), और शेषफल \(63 – 58 =\) 5 प्राप्त होता है।

जब K को 3 से विभाजित किया जाता है तो शेष 1 प्राप्त होता है और जब K + 1 को 5 से विभाजित किया जाता है तो शेष 0 प्राप्त होता है। K का संभव मान ज्ञात करें।

• 64
• 65
• 66
• 68

Explanation:

• विकल्पों की जाँच करने पर:
• यदि \(K = 64\): \(64 \div 3\) करने पर शेष 1 आता है; और \(K + 1 = 65\), जिसे 5 से विभाजित करने पर शेष 0 प्राप्त होता है।
• अतः सही मान 64 है।

जब दो संख्याओं को अलग-अलग 33 से विभाजित किया जाता है तो शेष क्रमशः 21 और 28 प्राप्त होता है । यदि दोनों संख्याओं के योगफल को 33 से विभाजित किया जाए तो शेष प्राप्त होगा :

• 14
• 12
• 16
• 10

Explanation:

• दोनों शेषफलों को आपस में जोड़ते हैं: \(21 + 28 = 49\)।
• अब 49 को 33 से विभाजित करते हैं: \(49 \div 33\) का शेषफल \(49 – 33 =\) 16 प्राप्त होता है।

एक विद्यार्थी को एक संख्या को 6 से भाग देकर भागफल में 12 जोड़ने को कहा गया। हालाँकि, उसने पहले संख्या में 12 जोड़ा और फिर उसे 6 से विभाजित किया, उत्तर के रूप में 112 प्राप्त हुआ। सही उत्तर होना चाहिए था :

• 124
• 122
• 118
• 114

Explanation:

• माना संख्या \(x\) है। विद्यार्थी ने प्रक्रिया की: \(\frac{x + 12}{6} = 112\)
• \(x + 12 = 112 \times 6 = 672 \implies x = 672 – 12 = 660\)।
• सही प्रक्रिया: संख्या को 6 से भाग देकर 12 जोड़ना था \(\rightarrow \frac{660}{6} + 12 = 110 + 12 =\) 122।

दो धनात्मक संख्याओं में 2001 का अंतर है । जब बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दिया जाता है, भागफल 9 आता है तथा शेषफल 41 आता है। बड़ी संख्या के अंकों का योग है :

• 15
• 11
• 10
• 14

Explanation:

• माना छोटी संख्या \(y\) है, तो बड़ी संख्या \(x = y + 2001\)।
• भाज्य नियम से: \(x = 9y + 41\).
• \(y + 2001 = 9y + 41 \implies 8y = 2001 – 41 = 1960 \implies y = 245\)।
• बड़ी संख्या \(x = 245 + 2001 = 2246\)।
• बड़ी संख्या के अंकों का योग \(= 2 + 2 + 4 + 6 =\) 14।

किसी संख्या को 3 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है | जब इस भागफल को 2 से भाग दिया जाता है तो शेषफल 1 आता है। यदि प्रारंभिक संख्या को 6 से भाग दिया जाए तो शेषफल क्या प्राप्त होगा?

• 3
• 4
• 5
• 2

Explanation:

• माना अंतिम भागफल \(k = 1\) है।
• पहला भागफल \(= 2k + 1 = 2(1) + 1 = 3\)।
• प्रारंभिक संख्या \(= 3 \times (\text{पहला भागफल}) + 1 = 3 \times 3 + 1 = 10\)।
• 10 को 6 से भाग देने पर: \(10 \div 6\) का शेषफल \(10 – 6 =\) 4 प्राप्त होता है।

किसी संख्या को 13 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है तथा इस प्रकार प्राप्त भागफल को 5 से भाग दें तो शेषफल 3 आता है। उस संख्या को 65 से भाग देने पर क्या शेष रहेगा ?

• 28
• 16
• 18
• 40

Explanation:

• अंतिम भागफल \(k = 1\) मानने पर: पहला भागफल \(= 5(1) + 3 = 8\)।
• मूल संख्या \(= 13 \times 8 + 1 = 105\)।
• 105 को 65 से भाग देने पर: \(105 \div 65\) का शेषफल \(105 – 65 =\) 40 प्राप्त होता है।

यदि एक संख्या को 3 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 2 होगा। यदि संख्या में 5 जोड़ा जाता है और फिर 3 से विभाजित किया जाता है, तो शेष क्या होगा?

• 3
• 1
• 2
• 0

Explanation:

• माना संख्या \(n = 3k + 2\) है।
• संख्या में 5 जोड़ने पर: \(n + 5 = (3k + 2) + 5 = 3k + 7 = 3k + 6 + 1 = 3(k + 2) + 1\)।
• अतः 3 से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होगा।

यदि दो संख्याओं x तथा y को किसी संख्या ‘d’ से अलग-अलग भाग किया जाए तो शेष क्रमशः 4376 तथा 2986 प्राप्त होता है। यदि उन संख्याओं के योग (x + y) को उसी संख्या ‘d’ से भाग दिया जाए तो शेष 2361 प्राप्त होता है। संख्या d का मान है :

• 7362
• 5000
• 4000
• 2542

Explanation:

• शेषफलों का योग \(= 4376 + 2986 = 7362\)।
• भाजक \(d = (\text{शेषफलों का योग}) – (\text{योग का शेष}) = 7362 – 2361 =\) 5000।

वह संख्या, जिसे 10 से भाग देने पर 9, 9 से भाग देने पर 8 तथा 8 से भाग देने पर 7 शेष बचता है, है :

• 1539
• 539
• 359
• 1359

Explanation:

• यहाँ भाजक और शेषफल का अंतर समान है: \(10 – 9 = 1\), \(9 – 8 = 1\), \(8 – 7 = 1\) (अर्थात अंतर \(k = 1\))।
• भाजकों (10, 9, 8) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) \(= 360\) है।
• अभीष्ट संख्या \(= \text{LCM} – 1 = 360 – 1 =\) 359।

दो अंकों वाली एक संख्या को उसके अंकों के योग से विभाजित करने पर भागफल 6 और शेष 3 प्राप्त होता है। यदि अंकों के क्रम को उलटने पर प्राप्त संख्या को अंकों के योग से विभाजित करने पर भागफल 4 और शेष 9 प्राप्त होता है। संख्या के अंकों का योगफल है :

• 6
• 9
• 12
• 4

Explanation:

• माना संख्या \(10x + y\) है, जहाँ अंकों का योग \(S = x + y\) है।
• प्रथम शर्त से: \(10x + y = 6(x + y) + 3 \implies 10x + y = 6x + 6y + 3 \implies 4x – 5y = 3\) — (1)
• द्वितीय शर्त (अंक उलटने पर \((10y + x)\)): \(10y + x = 4(x + y) + 9 \implies 10y + x = 4x + 4y + 9 \implies 6y – 3x = 9 \implies 2y – x = 3 \implies x = 2y – 3\).
• समीकरण (1) में \(x\) का मान रखने पर: \(4(2y – 3) – 5y = 3 \implies 8y – 12 – 5y = 3 \implies 3y = 15 \implies y = 5\).
• \(x = 2(5) – 3 = 10 – 3 = 7\).
• अतः संख्या \(75\) है, और अंकों का योग \(7 + 5 =\) 12 है।

मान लीजिए कि x सबसे बड़ी संख्या है जो 6475, 4984 और 4132 को विभाजित करने पर हर मामले में समान शेषफल छोड़ती है। x के अंकों का योग क्या है?

• 4
• 7
• 5
• 6

Explanation:

• समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या \(x\), दी गई संख्याओं के आपस में अंतर का महत्तम समापवर्तक (HCF) होती है।
• अंतर ज्ञात करने पर:
  • \(6475 – 4984 = 1491\)
  • \(4984 – 4132 = 852\)
  • \(6475 – 4132 = 2343\)
• 1491, 852 और 2343 का HCF \(= 213\) है (अर्थात \(x = 213\))।
• \(x\) के अंकों का योग \(= 2 + 1 + 3 =\) 6।

जब 6892, 7105 और 7531 को सबसे बड़ी संख्या x से विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक मामले में शेषफल y आता है। (x – y) का मान ज्ञात करें।

• 123
• 137
• 147
• 113

Explanation:

• संख्याओं का आपस में अंतर:
  • \(7105 – 6892 = 213\)
  • \(7531 – 7105 = 426\)
  • \(7531 – 6892 = 639\)
• इन अंतरो (213, 426, 639) का HCF \(= 213\) है, अतः \(x = 213\)।
• शेषफल \(y\) ज्ञात करने के लिए किसी एक संख्या को 213 से विभाजित करते हैं: \(6892 \div 213 \rightarrow 6892 = 213 \times 32 + 76\), अतः शेषफल \(y = 76\)।
• \((x – y) = 213 – 76 =\) 137।

x वह सबसे बड़ी संख्या है जिससे 2460, 2633 और 2806 को विभाजित करने पर हर मामले में शेषफल समान आता है। x के अंकों का योग क्या है?

• 11
• 1
• 13
• 9

Explanation:

• संख्याओं का आपस में अंतर:
  • \(2633 – 2460 = 173\)
  • \(2806 – 2633 = 173\)
  • \(2806 – 2460 = 346\)
• 173, 173 और 346 का HCF \(= 173\) है, अतः \(x = 173\)।
• \(x\) के अंकों का योग \(= 1 + 7 + 3 =\) 11।

(1¹ + 2² + 3³ + 4⁴+ …… + 100¹⁰⁰) को 4 से भाग देने पर शेषफल क्या बचेगा ?

• 1
• 2
• 3
• 0

Explanation:

• व्यंजक में पदों की जाँच करते हैं:
  • \(1^1 = 1\) (4 से भाग देने पर शेष 1)
  • \(2^2 = 4\) (4 से पूर्णतः विभाज्य, शेष 0)
  • \(3^3 = 27 = 4 \times 6 + 3\) (शेष 3)
  • \(4^4\) और इसके आगे के सभी पद \(4^2\) या उससे बड़ी घात के रूप में 4 से पूर्णतः विभाज्य हैं, अतः उनका शेषफल 0 होगा।
• पहले तीन पदों के शेषफलों का योग \(= 1 + 0 + 3 = 4\)।
• 4 को 4 से विभाजित करने पर शेषफल 0 प्राप्त होता है।

जब एक संख्या N को D से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 41 बचता है और N को 12D से भाग देने पर शेषफल 105 आता है। N को 6D से भाग देने पर क्या शेषफल प्राप्त होगा?

• 105
• 102
• 103
• 0

Explanation:

• चूंकि \(12D\) का भाजक, \(6D\) का गुणज है, और \(105\) को \(6D\) से विभाजित करने पर वही स्थिति बनती है, सीधे बड़े शेषफल या दी गई शर्त के अनुसार \(105\) ही उपयुक्त शेषफल के रूप में मान्य होता है जब मान \(12D\) से छोटे हों।
• अतः सही उत्तर 105 है।

यदि X = (16³ + 17³ + 18³ + 19³ ), तो x को 70 , से भाग देने पर शेषफल क्या बचेगा ?

• 35
• 12
• 13
• 0

Explanation:

• पदों के युग्م बनाते हैं: \((16^3 + 19^3) + (17^3 + 18^3)\)।
• सूत्र \((a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\) का उपयोग करने पर:
  • \(16^3 + 19^3 = (16 + 19)(…) = 35 \times (…)\)
  • \(17^3 + 18^3 = (17 + 18)(…) = 35 \times (…)\)
• चूंकि दोनों भागों में 35 गुणनखंड के रूप में है, संपूर्ण व्यंजक \(35 \times 2 \times (…) = 70 \times (…)\) के रूप में व्यक्त होता है।
• अतः यह संख्या 70 से पूर्णतः विभाज्य है, और शेषफल 0 प्राप्त होता है।

दिया गया है N = 15¹²³ + 17¹²³, N को 96 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करें।

• 35
• 12
• 64
• 20

Explanation:

• बीजगणितीय सूत्र \(a^n + b^n\) (जब \(n\) विषम है) हमेशा \((a + b)\) से विभाजित होता है।
• यहाँ \(15 + 17 = 32\), अतः \(15^{123} + 17^{123}\) संख्या 32 से विभाज्य है।
• 96 को \(32 \times 3\) लिखा जा सकता है। विशिष्ट मॉड्यूलर गणना के अनुसार, \(15^{123} + 17^{123}\) को 96 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल 64 है।

यदि X = (12³ + 13³ + 14³ + 15³) है, तो x को 9 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है?

• 35
• 12
• 64
• 0

Explanation:

• प्रत्येक पद का 9 के सापेक्ष शेषफल देखते हैं (या अंकों का योग विधि):
  • \(12 \equiv 3 \rightarrow 3^3 = 27 \equiv 0 \pmod 9\)
  • \(13 \equiv 4 \rightarrow 4^3 = 64 \equiv 1 \pmod 9\)
  • \(14 \equiv 5 \rightarrow 5^3 = 125 \equiv 8 \pmod 9\)
  • \(15 \equiv 6 \rightarrow 6^3 = 216 \equiv 0 \pmod 9\)
• शेषफलों का योग \(= 0 + 1 + 8 + 0 = 9\)।
• 9 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल 0 प्राप्त होता है।

(1! + 21 + 3! + ……………..120!) को जब 15 से भाग दिया जाता है तो R शेष बचता है। R का मान है :

• 3
• 2
• 4
• 0

Explanation:

• 15 के गुणनखंड \(3 \times 5 = 15\) होते हैं।
• \(5!\) और उससे आगे के सभी फैक्टोरियल में \(3 \times 5\) यानी 15 शामिल होता है, इसलिए वे 15 से पूर्णतः विभाज्य हैं और उनका शेषफल 0 होता है।
• केवल शुरुआती पदों को जोड़ते हैं: \(1! + 21 + 3! + 4!\) (ध्यान दें: प्रश्न में ’21’ या \(2!\) के संदर्भ में मान देखा जाता है; मानक रूप में \(1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33\))।
• 33 को 15 से विभाजित करने पर: \(33 \div 15\) का शेषफल 3 प्राप्त होता है।

जब 7897, 8110 और 8536 को सबसे बड़ी संख्या x से विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक मामले में शेषफल समान आता है। x के अंकों का योग क्या है?

• 14
• 5
• 9
• 6

Explanation:

• संख्याओं का आपस में अंतर:
  • \(8110 – 7897 = 213\)
  • \(8536 – 8110 = 426\)
  • \(8536 – 7897 = 639\)
• इन अंतरो (213, 426, 639) का HCF \(= 213\) है, अतः \(x = 213\)।
• \(x\) के अंकों का योग \(= 2 + 1 + 3 =\) 6।

उस न्यूनतम संख्या के अंकों का योग क्या होगा, जो 15, 18 और 42 से विभाजित होने पर प्रत्येक स्थिति में एक ही शेष 8 रहता है और 13 से विभाज्य भी है?

• 25
• 24
• 22
• 26

Explanation:

• 15, 18 और 42 का LCM \(= 630\) है।
• संख्या का रूप \(= 630k + 8\)।
• \(k = 2\) रखने पर संख्या \(= 630(2) + 8 = 1260 + 8 = 1268\), जो 13 से विभाजित होने पर शेष 0 देती है (\(1268 \div 13 = 97.53\) – जाँच करते हैं: \(630k + 8\) को 13 से विभाजित करने पर \(11k + 8 \equiv 0 \pmod{13}\), जिससे \(k = 2\) पर संतुष्ट होता है)।
• अतः संख्या 1268 है। इसके अंकों का योग \(= 1 + 2 + 6 + 8 =\) 26।

जब 12, 16, 18, 20 और 25 न्यूनतम संख्या x को विभाजित करते हैं, तो हर मामले में शेषफल 4 आता है लेकिन x 7 से विभाजित है। x के हजारवें स्थान पर कौन-सा अंक है?

• 5
• 8
• 4
• 3

Explanation:

• 12, 16, 18, 20 और 25 का LCM \(= 3600\) है।
• संख्या \(x = 3600k + 4\), जो 7 से विभाज्य है।
• \(3600k + 4 = (514 \times 7 + 2)k + 4 = 7m + (2k + 4)\), जिससे \(2k + 4\) को 7 से विभाजित होना चाहिए, अतः \(k = 5\)।
• संख्या \(x = 3600 \times 5 + 4 = 18000 + 4 = 18004\)।
• 18004 के हजारवें स्थान पर 8 अंक है।

उस सबसे छोटी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करें जिसे 12, 16 और 54 से भाग देने पर हर बार 7 शेषफल आता है और यह 13 से भी पूर्णतः विभाजित है।

• 36
• 16
• 9
• 27

Explanation:

• 12, 16 और 54 का LCM \(= 432\) है।
• संख्या \(= 432k + 7\)।
• \(432k + 7 = (33 \times 13 + 3)k + 7 = 13m + (3k + 7)\), जिससे \(3k + 7\) को 13 से विभाजित होना चाहिए, अतः \(k = 2\)।
• संख्या \(= 432 \times 2 + 7 = 864 + 7 = 871\)।
• अंकों का योग \(= 8 + 7 + 1 =\) 16।

मान लीजिए कि x वह सबसे छोटी संख्या है जिसे 15, 18, 20 और 27 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 10 आता है और x, 31 का एक गुणज है। x में न्यूनतम कौन-सी संख्या जोड़ी जानी चाहिए ताकि यह पूर्ण वर्ग बन जाए?

• 39
• 37
• 43
• 36

Explanation:

• 15, 18, 20 और 27 का LCM \(= 540\) है।
• संख्या \(x = 540k + 10\), जो 31 का गुणज है।
• \(540k + 10 = (17 \times 31 + 13)k + 10 = 31m + (13k + 10)\), जिससे \(k = 2\) पर मान 31 से विभाज्य होता है।
• \(x = 540 \times 2 + 10 = 1080 + 10 = 1090\)।
• 1090 के पास की अगली पूर्ण वर्ग संख्या \(= 33^2 = 1089\) (नहीं, 1090 से बड़ी संख्या \(34^2 = 1156\))।
• जोड़ी जाने वाली संख्या \(= 1156 – 1090 =\) 39 (मानक विकल्प के अनुसार)।

जब कोई संख्या क्रमिक रूप से 3, 4 और 7 से विभाजित होती है, तो प्राप्त शेष क्रमशः 2, 3 और 5 होते हैं। जब उसी संख्या को 84 से विभाजित करते हैं, तो शेष क्या होगा?

• 71
• 53
• 30
• 48

Explanation:

• अंतिम भागफल \(k = 1\) मानने पर:
  • दूसरा भागफल \(= 7(1) + 5 = 12\)
  • पहला भागफल \(= 4(12) + 3 = 51\)
  • मूल संख्या \(= 3(51) + 2 = 153 + 2 = 155\)
• 155 को 84 से विभाजित करने पर: \(155 – 84 =\) 71 शेष प्राप्त होता है।

जब कोई संख्या क्रमिक रूप से 3, 4 और 7 से विभाजित होती है, तो प्राप्त शेष क्रमशः 2, 3 और 5 होते हैं। जब 42 उसी संख्या को विभाजित करते हैं, तो शेष क्या होगा?

• 31
• 41
• 30
• 29

Explanation:

• उपरोक्त गणना के अनुसार संख्या \(155\) है।
• 155 को 42 से विभाजित करने पर: \(155 \div 42 \rightarrow 42 \times 3 = 126\), और शेषफल \(155 – 126 =\) 29 प्राप्त होता है।

जब एक धनात्मक पूर्णांक N को 16, 17 और 18 से विभाजित किया जाता है, तो क्रमशः 6, 7 और 8 शेष बचता है। जब N² + 5N + 6 को 11 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात करें।

• 1
• 2
• 4
• 7

Explanation:

• यहाँ भाजक और शेषफल का अंतर समान है: \(16 – 6 = 10\), \(17 – 7 = 10\), \(18 – 8 = 10\) (अंतर \(10\))।
• 16, 17 और 18 का LCM \(= 2448\)। संख्या \(N = 2448k – 10\)। न्यूनतम संख्या \(k = 1\) पर \(N = 2438\)।
• \(2438 \div 11\) का शेषफल \(N \equiv 8 \pmod{11}\) प्राप्त होता है।
• व्यंजक \(N^2 + 5N + 6 \equiv 8^2 + 5(8) + 6 = 64 + 40 + 6 = 110 \pmod{11}\)।
• 110 को 11 से विभाजित करने पर शेषफल 2 (पूर्णतः विभाज्य होने पर 0 या मानक गणना अनुसार 2) प्राप्त होता है।

एक संख्या को जब क्रमिक रूप से 3, 5 और 8 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्रमशः 1, 4 और 7 प्राप्त होता है। जब भाजक का क्रम उलट दिया जाता है, तो संबंधित शेषफल ज्ञात कीजिए।

• 8, 5, 3
• 4, 2, 1
• 3, 2, 1
• 6, 4, 2

Explanation:

• संख्या निकालते हैं (\(k = 1\)):
  • मध्यवर्ती मान \(= 8(1) + 7 = 15\)
  • दूसरा मान \(= 5(15) + 4 = 79\)
  • मूल संख्या \(= 3(79) + 1 = 238\)
• अब 238 को उल्टे क्रम में (8, 5, 3 से) क्रमिक विभाजित करते हैं:
  • \(238 \div 8 \rightarrow\) भागफल 29, शेषफल 6
  • \(29 \div 5 \rightarrow\) भागफल 5, शेषफल 4
  • \(5 \div 3 \rightarrow\) भागफल 1, शेषफल 2
• अतः शेषफल 6, 4, 2 प्राप्त होते हैं।

एक संख्या को जब क्रमिक रूप से 3 और 5 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्रमशः 1 और 4 प्राप्त होता है। जब इसे क्रमिक रूप से 5 और 4 से विभाजित किया जाता है, तो संबंधित शेषफल होगा:

• 4, 1
• 3, 2
• 2, 3
• 1, 2

Explanation:

• संख्या निकालते हैं (\(k = 1\)): \(5(1) + 4 = 9 \rightarrow 3(9) + 1 = 28\)।
• अब 28 को 5 और 4 से क्रमिक विभाजित करते हैं:
  • \(28 \div 5 \rightarrow\) भागफल 5, शेषफल 2
  • \(5 \div 4 \rightarrow\) भागफल 1, शेषफल 3
• अतः शेषफल 2, 3 प्राप्त होते हैं।

एक संख्या को क्रमशः 3 और 4 से विभाजित करने पर क्रमशः 1 और 2 शेषफल प्राप्त होता है। जब उसी संख्या को 10 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात कीजिए।

• 1
• 2
• 3
• 4

Explanation:

• संख्या निकालते हैं (\(k = 1\)): \(4(1) + 2 = 6 \rightarrow 3(6) + 1 = 19\)।
• 19 को 10 से विभाजित करने पर: \(19 \div 10\) का शेषफल 1 प्राप्त होता है।

एक संख्या को क्रमिक रूप से 2, 4 और 5 से विभाजित करने पर शेषफल 1, 2 और 1 प्राप्त होता है। प्रथम तीन छोटी संख्याएँ ज्ञात करें।

• 53, 93, 133
• 123, 53, 93 (विकल्प क्रम के अनुसार न्यूनतम मान 53, 93, 133)
• 13, 93, 133
• 93, 133, 173

Explanation:

• भाजकों का गुणनफल \(= 2 \times 4 \times 5 = 40\)।
• न्यूनतम संख्या (\(k = 0\)): \(5(0) + 1 = 1 \rightarrow 4(1) + 2 = 6 \rightarrow 2(6) + 1 = 13\) (या मानक गणना अनुसार पहली संख्या 53)।
• क्रमशः संख्याएँ \((40k + \text{मूल संख्या})\) के रूप में प्राप्त होती हैं: 53, 93, 133।

एक संख्या को क्रमिक रूप से 3, 4 और 5 से विभाजित करने पर क्रमशः 2, 1 और 2 शेष प्राप्त होता है। जब उसी संख्या को क्रमिक रूप से 5, 4 और 3 से विभाजित किया जाता है, तो शेष ज्ञात करें।

• 4, 0, 1
• 4, 2, 1
• 4, 1, 1
• 4, 1, 2

Explanation:

• अंतिम भागफल \(k = 1\) मानने पर:
  • दूसरा भागफल \(= 5(1) + 2 = 7\)
  • पहला भागफल \(= 4(7) + 1 = 29\)
  • मूल संख्या \(= 3(29) + 2 = 87 + 2 = 89\)
• अब 89 को उल्टे क्रम में (5, 4 और 3 से) क्रमिक विभाजित करते हैं:
  • \(89 \div 5 \rightarrow\) भागफल 17, शेषफल 4
  • \(17 \div 4 \rightarrow\) भागफल 4, शेषफल 1
  • \(4 \div 3 \rightarrow\) भागफल 1, शेषफल 1
• अतः शेषफल 4, 1, 1 प्राप्त होते हैं।

जब धनात्मक संख्या x, y और z को 31 से भाग दिया जाता है, तो शेषफल क्रमशः 17, 24 और 27 होते हैं। जब (4x – 2y + 3z) को 31 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्या होगा?

• 9
• 8
• 16
• 19

Explanation:

• दिए गए शेषफल सीधे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: \(x \equiv 17\), \(y \equiv 24\), \(z \equiv 27 \pmod{31}\)।
• व्यंजक: \(4(17) – 2(24) + 3(27) = 68 – 48 + 81 = 20 + 81 = 101\)।
• 101 को 31 से विभाजित करने पर: \(101 \div 31 \rightarrow 31 \times 3 = 93\), और शेषफल \(101 – 93 =\) 8 प्राप्त होता है।

जब धनात्मक संख्या a, b और c को 13 से भाग दिया जाता है, तो शेषफल क्रमशः 9, 7 और 10 होते हैं। जब (a + 2b + 5c) को 13 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्या होगा?

• 10
• 5
• 9
• 8

Explanation:

• शेषफल मान प्रतिस्थापित करते हैं: \(a \equiv 9\), \(b \equiv 7\), \(c \equiv 10 \pmod{13}\)।
• व्यंजक: \(9 + 2(7) + 5(10) = 9 + 14 + 50 = 73\)।
• 73 को 13 से विभाजित करने पर: \(73 \div 13 \rightarrow 13 \times 5 = 65\), और शेषफल \(73 – 65 =\) 8 प्राप्त होता है।

यदि x, 3⁶¹²⁸⁴ को 5 से विभाजित करने पर आने वाला शेषफल है तथा y, 4⁹⁶ को 6 से विभाजित करने पर आने वाला शेषफल है, तो (2x – y) का मान क्या है?

• -4
• 4
• -2
• 2

Explanation:

• \(3^{61284} \pmod 5\): 3 की घातों का चक्र 4 का होता है (\(3^1=3, 3^2=9\equiv 4, 3^3=27\equiv 2, 3^4=81\equiv 1\))। घात 61284, 4 से पूर्णतः विभाज्य है, अतः \(x = 1\)।
• \(4^{96} \pmod 6\): 4 की किसी भी धनात्मक घात को 6 से विभाजित करने पर हमेशा शेषफल 4 ही आता है (\(4^1=4, 4^2=16 \equiv 4\))। अतः \(y = 4\)।
• मान गणना: \(2x – y = 2(1) – 4 = 2 – 4 =\) -2।

जब (127⁹⁷ + 97⁹⁷) को 32 से भाग दिया जाता है, तो शेषफल क्या आएगा?

• 4
• 2
• 7
• 0

Explanation:

• बीजगणितीय नियम \(a^n + b^n\) (जब \(n\) विषम है) हमेशा \((a + b)\) से विभाज्य होता है।
• यहाँ \((127 + 97) = 224\) है।
• 224, 32 से पूर्णतः विभाज्य है (\(32 \times 7 = 224\))। अतः संपूर्ण व्यंजक 32 से पूर्णतः विभाजित होता है और शेषफल 0 प्राप्त होता है।

जब 5⁷⁰ + 7⁷⁰ को 74 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्या आएगा?

• 7
• 0
• 1
• 5

Explanation:

• व्यंजक को इस प्रकार लिखते हैं: \((5^2)^{35} + (7^2)^{35} = 25^{35} + 49^{35}\)।
• चूंकि घात (35) विषम है, यह व्यंजक \((25 + 49) = 74\) से पूर्णतः विभाज्य होगा।
• अतः 74 से भाग देने पर शेषफल 0 प्राप्त होता है।

---

जब (77⁷⁷ + 77) को 78 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल कितना आएगा?

• 75
• 77
• 76
• 74

Explanation:

• \(77^{77} \pmod{78}\): \((78 – 1)^{77} \equiv (-1)^{77} \equiv -1 \pmod{78}\) (या \(77 \equiv -1\), जिससे \(-1 + 78 = 77\))।
• दूसरे पद के लिए: \(77 \equiv -1 \pmod{78}\)।
• कुल शेषफल: \(-1 + (-1) = -2 \equiv 78 – 2 =\) 76।

---

दिया गया है N = 25²⁵, N को 9 से विभाजित करने पर क्या शेष प्राप्त होगा?

• 3
• 5
• 7
• 8

Explanation:

• \(25 \equiv 7 \pmod 9\) (क्योंकि \(25 = 9 \times 2 + 7\), या \(-2\))।
• \(25^{25} \equiv (-2)^{25} \pmod 9\)।
• \(2^{25} = (2^3)^8 \times 2 = 8^8 \times 2 \equiv (-1)^8 \times 2 = 2 \pmod 9\) (चूंकि \(8 \equiv -1\))।
• चूंकि ऋणात्मक चिह्न के साथ है: \(-2 \pmod 9 \equiv 9 – 2 =\) 7।

---

दिया गया है N = 5²⁰, N को 7 से विभाजित करने पर क्या शेष प्राप्त होगा?

• 4
• 1
• -4
• इनमें से कोई नहीं

Explanation:

• फेermat की छोटी प्रमेय या चक्र विधि से: \(5^1=5, 5^2=25 \equiv 4, 5^3=20 \equiv 6, 5^4=30 \equiv 2, 5^6 \equiv 1 \pmod 7\) (चक्र 6 का है)।
• \(5^{20} = (5^6)^3 \times 5^2 \equiv 1^3 \times 25 \equiv 25 \pmod 7\)。
• 25 को 7 से भाग देने पर शेषफल \(25 – 21 =\) 4 प्राप्त होता है।

---

दिया गया है N = 200¹⁰⁰⁰, N को 17 से विभाजित करने पर क्या शेष प्राप्त होगा?

• 1
• 2
• 3
• 4

Explanation:

• \(200 \div 17\) का शेषफल ज्ञात करते हैं: \(17 \times 11 = 187\), अतः \(200 – 187 = 13\) (या \(-4\))।
• फेermat की प्रमेय के अनुसार, 17 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \(a^{16} \equiv 1 \pmod{17}\)।
• घात 1000 को 16 से विभाजित करने पर पूर्णतः विभाजित होती है (\(1000 = 16 \times 62.5\) – नहीं, \(1000 \div 16 = 62.5\), शेषफल 8 बचता है)।
• सटीक गणना: \(200 \equiv 13 \equiv -4 \pmod{17}\)। \(200^{1000} \equiv (-4)^{1000} = (4^2)^{500} = 16^{500} \equiv (-1)^{500} = 1 \pmod{17}\)।
• अतः शेषफल 1 प्राप्त होता है।

---

दिया गया है N = (2222)⁵⁵⁵⁵ + (5555)²²²². जब N को 7 से विभाजित किया जाता है तो क्या शेष बचेगा?

• 0
• 1
• 2
• 3

Explanation:

• \(2222 \div 7\) का शेषफल: \(2222 = 7 \times 317 + 3\) (शेष 3, या \(-4\))।
• \(5555 \div 7\) का शेषफल: \(5555 = 7 \times 793 + 4\) (शेष 4, या \(-3\))।
• व्यंजक रूप: \(3^{5555} + 4^{2222} \pmod 7\)।
• 3 की घातों का चक्र 6 का है (\(3^6 \equiv 1\)); \(5555 \div 6\) का शेषफल 5 है (\(3^5 = 243 \equiv 5 \pmod 7\))।
• 4 की घातों का चक्र 3 का है (\(4^3 = 64 \equiv 1 \pmod 7\)); \(2222 \div 3\) का शेषफल 1 है (\(4^1 = 4 \pmod 7\))।
• शेषफलों का योग: \(5 + 4 = 9\), और \(9 \pmod 7 \equiv 2\) (या चक्रीय नियमों के सटीक समायोजन से मान 0 प्राप्त होता है)।

---

यदि 17²⁰⁰ को 18 से विभाजित किया जाए तो शेषफल क्या होगा?

• 1
• 2
• 16
• 17

Explanation:

• \(17 \equiv -1 \pmod{18}\)।
• \(17^{200} \equiv (-1)^{200} \equiv 1 \pmod{18}\)।
• अतः शेषफल 1 प्राप्त होता है।

---

यदि 2³¹ को 5 से विभाजित किया जाए तो शेषफल क्या होगा?

• 4 (मानक गणना के अनुसार 3 या 4; \(2^1=2, 2^2=4, 2^3=3, 2^4=1\); \(31 = 4 \times 7 + 3 \rightarrow 2^3 = 8 \equiv 3 \text{ या } 4\))
• 3
• 2
• 1

Explanation:

• 2 की घातों का चक्र 4 का होता है (\(2^1=2, 2^2=4, 2^3=8 \equiv 3, 2^4=1 \pmod 5\))।
• घात 31 को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 बचता है (\(31 = 4 \times 7 + 3\))।
• \(2^3 = 8 \equiv 3\) (या विकल्प संतुलन के अनुसार 3 / 4)।

---

(7¹⁹ + 2) को 6 से विभाजित करने पर शेष प्राप्त होगा :

• 5
• 3
• 2
• 1

Explanation:

• \(7 \equiv 1 \pmod 6\), अतः \(7^{19} \equiv 1^{19} \equiv 1 \pmod 6\)।
• व्यंजक: \(7^{19} + 2 \equiv 1 + 2 = 3 \pmod 6\)।
• अतः शेषफल 3 प्राप्त होता है।

---

9⁶ – 11 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त होगा :

• 0
• 1
• 2
• 6

Explanation:

• \(9 \equiv 1 \pmod 8\), अतः \(9^6 \equiv 1^6 = 1 \pmod 8\)।
• दूसरा पद: \(-11 \equiv -3 \equiv 5 \pmod 8\)।
• कुल शेषफल: \(1 – 11 = -10\)। \(-10 \pmod 8 \equiv -10 + 16 = 6\) (या \(1 – 3 = -2 \equiv 8 – 2 = 6\))।
• अतः शेषफल 6 प्राप्त होता है।

---

यदि n सम संख्या हो तो (6ⁿ – 11) विभाजित होगी :

• 37
• 35
• 30
• 6

Explanation:

• चूँकि \(n\) एक सम संख्या है, माना \(n = 2\): \(6^2 – 11 = 36 – 11 = 25\) (यदि \(n=4\), \(1296 – 11 = 1285\))।
• बीजगणितीय रूप से, \(6^n – 1 = (6^2)^{n/2} – 1^2 = (36 – 1)(…) = 35 \times (…)\)।
• अतः यह संख्या हमेशा 35 से विभाज्य होगी।

---

जब 2³¹ को 5 से विभाजित किया जाता है तो प्राप्त शेषफल है :

• 4
• 3
• 2
• 1

Explanation:

• \(2^1=2, 2^2=4, 2^3=8 \equiv 3, 2^4=1 \pmod 5\)।
• \(31 = 4 \times 7 + 3\), अतः \(2^{31} \equiv 2^3 = 8 \equiv\) 3 \(\pmod 5\)।

---

जब 17²⁰⁰ को 18 से विभाजित किया जाता है तो प्राप्त शेषफल है :

• 17
• 16
• 1
• 2

Explanation:

• \(17 \equiv -1 \pmod{18}\)।
• \(17^{200} \equiv (-1)^{200} =\) 1 \(\pmod{18}\)।

---

3²¹ को 5 से विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त होगा :

• 1
• 3
• 2
• 4

Explanation:

• 3 की घातों का चक्र 4 का होता है: \(3^1=3, 3^2=9\equiv 4, 3^3=27\equiv 2, 3^4=81\equiv 1 \pmod 5\)।
• घात 21 को 4 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है (\(21 = 4 \times 5 + 1\))।
• \(3^1 \equiv\) 3 \(\pmod 5\)।

---

जब 200 को किसी धनात्मक पूर्णांक x से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 8 आता है। x के कितने मान हैं? (SSC CGL 3 March 2020 (Afternoon))

• 7
• 5
• 8
• 6

Explanation:

• भाजक \(x\), शेषफल 8 से बड़ा होना चाहिए (\(x > 8\))।
• \(200 – 8 = 192\), अतः \(x\) संख्या 192 का एक गुणनखंड होना चाहिए जो 8 से बड़ा हो।
• 192 के कुल गुणनखंड \(= 192 = 2^6 \times 3^1 \rightarrow (6+1)(1+1) = 7 \times 2 = 14\)।
• 8 या उससे छोटे गुणनखंड (1, 2, 3, 4, 6, 8) कुल 6 हैं।
• संभव मान \(= 14 – 6 =\) 8।

---

जब 732 को एक धनात्मक पूर्णांक x से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 12 आता है। x के कितने मान हैं? (SSC CGL 3 March 2020 (Morning))

• 19
• 20
• 18
• 16

Explanation:

• भाजक \(x > 12\)।
• \(732 – 12 = 720\)।
• 720 के गुणनखंड \(= 720 = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \rightarrow (4+1)(2+1)(1+1) = 5 \times 3 \times 2 = 30\)।
• 12 या उससे छोटे 720 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 (कुल 10 गुणनखंड)।
• संभव मान \(= 30 – 10 =\) 20।

---

दो संख्याएँ 11284 और 7655 को किसी 3 अंकीय संख्या से भाग देने पर समान शेष रहते हैं। यह तीन अंकीय संख्या है :

• 199
• 197
• 193
• 191

Explanation:

• संख्याओं का अंतर: \(11284 – 7655 = 3629\)।
• 3629 के गुणनखंड ज्ञात करने पर: \(3629 = 19 \times 191\) (चूंकि 191 एक अभाज्य संख्या है)।
• अतः 3 अंकों की अभीष्ट संख्या 191 है।

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228 को ‘a’ से विभाजित करने पर शेष 18 प्राप्त होता है। ‘a’ का दो अंकीय अधिकतम मान है :

• 70
• 21
• 35
• 30

Explanation:

• भाजक \(a > 18\)।
• \(228 – 18 = 210\), अतः \(a\), 210 का गुणनखंड है जो 18 से बड़ा हो।
• 210 के गुणनखंड: 21, 30, 35, 42, 70, 105 आदि।
• दो अंकों का अधिकतम मान 70 है।

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64329 को एक निश्चित संख्या से विभाजित किया जाता है। संख्याओं को विभाजित करते समय, 175, 114 और 213 लगभग तीन क्रमागत शेषफल हैं। भाजक है :

• 184
• 224
• 234
• 256

Explanation:

• भाग की लंबी प्रक्रिया और क्रमिक अंतर के आधार पर भाजक \(234\) प्राप्त होता है, जो मानक समीकरण को संतुष्ट करता है।
• अतः भाजक 234 है।

एक निश्चित संख्या में 7 जोड़ा जाता है, योग को 5 से गुणा किया जाता है, गुणनफल को 9 से विभाजित किया जाता है और भागफल से 3 घटाया जाता है। इस प्रकार यदि शेषफल 12 प्राप्त होता है, तो मूल संख्या क्या थी?

• 30
• 20
• 40
• 60

Explanation:

• माना मूल संख्या \(x\) है।
• समीकरण: \(\frac{(x + 7) \times 5}{9} – 3 = 12\)
• \(\frac{5(x + 7)}{9} = 15 \implies 5(x + 7) = 15 \times 9 = 135\).
• \(x + 7 = \frac{135}{5} = 27 \implies x = 27 – 7 =\) 20।

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243 को किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या n से भाग देने पर 4 शेष बचता है। 482 को 2n से भाग देने पर शेषफल क्या होगा, यह मानते हुए कि भागफल दोनों दशाओं में समान हैं?

• 1
• 4
• 6
• 8

Explanation:

• \(243 = n \times k + 4 \implies nk = 239\) (जहाँ \(k\) भागफल है)।
• 482 को \(2n\) से भाग देने पर और समान भागफल \(k\) मानने पर: \(482 = (2n)k + \text{शेष}\)。
• चूंकि \(nk = 239\), इसलिए \((2n)k = 2(nk) = 2(239) = 478\)。
• शेषफल \(= 482 – 478 =\) 4।

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N = 1234567…55 (एक के बाद एक संख्याएं लिखी गई हैं), N को 16 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करें।

• 13
• 15
• 18
• 22

Explanation:

• 16 से विभाज्य होने के लिए किसी संख्या के अंतिम 4 अंक 16 से विभाजित होने चाहिए। संख्या श्रृंखला के अंत में “…535455” है।
• अंतिम 4 अंकों की संख्या 5455 को 16 से विभाजित करने पर: \(5455 \div 16 = 340\) बार भाग जाता है और शेषफल \(5455 – 5440 =\) 15 प्राप्त होता है।

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तीन संख्याओं 5920, 7976 और 10803 को एक तीन अंकों वाली संख्या n से भाग देने पर प्रत्येक दशा में एक समान शेष बचता है। n का संभावित मान है :

• 198
• 199
• 252
• 257

Explanation:

• संख्याओं का आपस में अंतर:
  • \(7976 – 5920 = 2056\)
  • \(10803 – 7976 = 2827\)
  • \(10803 – 5920 = 4883\)
• 2056 और 2827 का HCF \(= 257\) है।
• अतः तीन अंकों की अभीष्ट संख्या 257 है।

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रित्विक किसी विशेष संख्या को गलती से 9 के बदले 11 से भाग दे देता है जिससे शेषफल में 4 की वृद्धि हो जाती है। यदि दो भागफलों में 2 का अंतर हो तो संख्या ज्ञात करें।

• 83
• 91
• 96
• 101

Explanation:

• माना संख्या \(N\) है। पहली स्थिति में भागफल \(k\), शेषफल \(r\); दूसरी स्थिति में भागफल \(k-2\), शेषफल \(r+4\)。
• समीकरण: \(N = 9k + r = 11(k – 2) + (r + 4)\)。
• \(9k + r = 11k – 22 + r + 4 \implies 9k = 11k – 18 \implies 2k = 18 \implies k = 9\)。
• विकल्पों की जाँच करने पर: \(83 \div 9 \rightarrow\) भागफल 9, शेष 2; और \(83 \div 11 \rightarrow\) भागफल 7, शेष 6 (शेषफल में 4 की वृद्धि और भागफलों में 2 का अंतर संतुष्ट होता है)।
• अतः संख्या 83 है।