Number System

•  संख्या के प्रकार (Types of Numbers)
  • प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers): \(N=\{1,2,3,\ldots\}\)
  • पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): \(W=\{0,1,2,3,\ldots\}\)
  • पूर्णांक (Integers): \(Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\)
  • सम संख्या (Even Number): \(2n\)
  • विषम संख्या (Odd Number): \(2n+1\)
  • लगातार प्राकृतिक संख्याएँ: \(n,n+1,n+2,\ldots\)
  • लगातार सम संख्याएँ: \(2n,2n+2,2n+4,\ldots\)
  • लगातार विषम संख्याएँ: \(2n+1,2n+3,2n+5,\ldots\)
  • अभाज्य संख्या (Prime Number): ऐसी प्राकृतिक संख्या जिसके केवल दो धनात्मक गुणनखंड हों, 1 और वह संख्या स्वयं।
  • भाज्य संख्या (Composite Number): 1 से बड़ी ऐसी प्राकृतिक संख्या जिसके दो से अधिक धनात्मक गुणनखंड हों।
  • महत्त्वपूर्ण तथ्य: 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य। सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है।
• सम और विषम संख्याओं के नियम
  • सम + सम = सम
  • विषम + विषम = सम
  • सम + विषम = विषम
  • सम × कोई भी पूर्णांक = सम
  • विषम × विषम = विषम
  • सम संख्या की कोई भी धनात्मक पूर्णांक घात सम होती है।
  • विषम संख्या की कोई भी पूर्णांक घात विषम होती है।
  • दो विषम संख्याओं का अंतर सम होता है।
• विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)
  • 2 से: अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो।
  • 3 से: अंकों का योग 3 से विभाजित हो।
  • 4 से: अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित हो।
  • 5 से: अंतिम अंक 0 या 5 हो।
  • 6 से: संख्या 2 और 3 दोनों से विभाजित हो।
  • 7 से: अंतिम अंक का दोगुना शेष संख्या से घटाएँ। प्राप्त संख्या 7 से विभाजित हो तो मूल संख्या भी विभाजित होगी। आवश्यकता पर प्रक्रिया दोहराएँ।
  • 8 से: अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाजित हो।
  • 9 से: अंकों का योग 9 से विभाजित हो।
  • 10 से: अंतिम अंक 0 हो।
  • 11 से: एकांतर स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।
  • 12 से: संख्या 3 और 4 दोनों से विभाजित हो।
  • 15 से: संख्या 3 और 5 दोनों से विभाजित हो।
  • 18 से: संख्या 2 और 9 दोनों से विभाजित हो।
  • 25 से: अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हों।
  • 125 से: अंतिम तीन अंक 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 या 875 हों।
• भाजक, गुणज, HCF और LCM
  • दो धनात्मक संख्याओं के लिए:
    \[ \operatorname{HCF}(a,b)\times\operatorname{LCM}(a,b)=a\times b \]
  • दो संख्याओं का LCM:
    \[ \operatorname{LCM}(a,b)=\frac{a\times b}{\operatorname{HCF}(a,b)} \]
  • सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime): \(\operatorname{HCF}(a,b)=1\)
  • यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य हों, तो उनका LCM उनके गुणनफल के बराबर होता है।
  • यदि \(a\), \(b\) को पूर्णतः विभाजित करता है, तो \(a\), \(b\) का भाजक है।
  • यदि \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हों, तो \(\operatorname{HCF}(a,b)=1\)।
• अभाज्य गुणनखंड और भाजकों की संख्या
  • यदि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंड रूप है: \[ N=p^a q^b r^c \]

• • कुल धनात्मक भाजकों की संख्या:
    \[ D=(a+1)(b+1)(c+1) \]
  • भाजकों के योग का सूत्र:
    \[ \sigma(N)=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\times\frac{q^{b+1}-1}{q-1}\times\frac{r^{c+1}-1}{r-1} \]
  • भाजकों का गुणनफल:
    \[ P=N^{D/2} \]
    जहाँ \(D\) कुल धनात्मक भाजकों की संख्या है।
  • पूर्ण वर्ग के लिए: अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें सम होनी चाहिए।
  • पूर्ण घन के लिए: अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें 3 के गुणज होनी चाहिए।
  • पूर्ण वर्ग भाजकों की संख्या:
    यदि \(N=p^a q^b r^c\), तो
    \[ D_{\text{square}}=\left(\left\lfloor\frac a2\right\rfloor+1\right)\left(\left\lfloor\frac b2\right\rfloor+1\right)\left(\left\lfloor\frac c2\right\rfloor+1\right) \]
• शेषफल (Remainder) के सूत्र
  • भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल:
    \[ \text{भाज्य}=\text{भाजक}\times\text{भागफल}+\text{शेषफल} \]
  • यदि \(N\) को \(d\) से भाग देने पर शेषफल \(r\) हो, तो:
    \[ N=dq+r,\quad 0\le r
  • योग का शेषफल:
    \[ (a+b)\bmod m=\big((a\bmod m)+(b\bmod m)\big)\bmod m \]
  • गुणनफल का शेषफल:
    \[ (ab)\bmod m=\big((a\bmod m)(b\bmod m)\big)\bmod m \]
  • घात का शेषफल: पहले आधार का शेषफल निकालकर उसकी घात पर विचार करें; बड़ी घातों में चक्रीय पैटर्न का उपयोग करें।
  • किसी संख्या को \(d\) से भाग देने पर अधिकतम शेषफल: \(d-1\)
  • न्यूनतम धनात्मक संख्या जो \(d\) से विभाजित हो: \(d\) स्वयं।
• इकाई अंक (Unit Digit)
  • घात वाली संख्याओं के इकाई अंक में चक्र (cycle) का उपयोग करें।
  • 0: \(0,0,0,0,\ldots\)
  • 1: \(1,1,1,1,\ldots\)
  • 2: \(2,4,8,6\) — चक्र 4
  • 3: \(3,9,7,1\) — चक्र 4
  • 4: \(4,6\) — चक्र 2
  • 5: \(5,5,5,5,\ldots\)
  • 6: \(6,6,6,6,\ldots\)
  • 7: \(7,9,3,1\) — चक्र 4
  • 8: \(8,4,2,6\) — चक्र 4
  • 9: \(9,1\) — चक्र 2
• उदाहरण: \(7^{103}\) का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए \(103\bmod 4=3\)। चक्र का तीसरा अंक 3 है। अतः इकाई अंक 3 होगा।
• घातांक के नियम (Laws of Exponents)
  • \(a^m\times a^n=a^{m+n}\)
  • \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), जहाँ \(a\ne0\)
  • \((a^m)^n=a^{mn}\)
  • \((ab)^n=a^n b^n\)
  • \(\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\), जहाँ \(b\ne0\)
  • \(a^0=1\), जहाँ \(a\ne0\)
  • \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\), जहाँ \(a\ne0\)
  • \(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\), जहाँ वास्तविक मान परिभाषित हो।
  • \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\), जहाँ वास्तविक मान परिभाषित हो।
• वर्ग, घन और वर्गमूल
  • पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग:
    \[ 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 \]
  • पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग:
    \[ 1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2 \]
  • वर्ग का अंतर: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
  • दो संख्याओं के योग का वर्ग: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
  • दो संख्याओं के अंतर का वर्ग: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
  • दो संख्याओं के योग का घन: \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
  • दो संख्याओं के अंतर का घन: \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
  • घनों का योग: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
  • घनों का अंतर: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
• लगातार संख्याओं के योग के सूत्र
  • पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग:
    \[ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2 \]
  • पहली \(n\) सम संख्याओं का योग:
    \[ 2+4+\cdots+2n=n(n+1) \]
  • पहली \(n\) विषम संख्याओं का योग:
    \[ 1+3+\cdots+(2n-1)=n^2 \]
  • पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का औसत:
    \[ \frac{n+1}{2} \]
  • लगातार \(n\) संख्याओं का औसत:
    \[ \frac{\text{पहली संख्या}+\text{अंतिम संख्या}}2 \]
  • 1 से \(n\) तक \(k\) के गुणजों की संख्या:
    \[ \left\lfloor\frac nk\right\rfloor \]
  • \(a\) से \(b\) तक \(k\) के गुणजों की संख्या:
    \[ \left\lfloor\frac bk\right\rfloor-\left\lfloor\frac{a-1}{k}\right\rfloor \]
• अंकों की संख्या (Number of Digits)
  • सबसे छोटी \(n\)-अंकीय प्राकृतिक संख्या: \(10^{n-1}\)
  • सबसे बड़ी \(n\)-अंकीय संख्या: \(10^n-1\)
  • कुल \(n\)-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ:
    \[ 9\times10^{n-1} \]
  • 1 से \(n\) तक लिखने में प्रयुक्त अंकों की संख्या:
    यदि \(n\ge1\), तो अंकों की कुल संख्या को एक ही सूत्र में लिखने के बजाय अंकों की लंबाई के अनुसार समूह बनाएँ।
  • किसी धनात्मक संख्या \(N\) में अंकों की संख्या:
    \[ \lfloor\log_{10}N\rfloor+1 \]
• अंतिम अंक और अंकों के योग के महत्त्वपूर्ण तथ्य
  • किसी संख्या और उसके अंकों के योग का अंतर 9 से विभाजित होता है।
  • किसी संख्या का 9 से शेषफल उसके अंकों के योग के 9 से शेषफल के बराबर होता है।
  • किसी संख्या का 3 से शेषफल उसके अंकों के योग के 3 से शेषफल के बराबर होता है।
  • यदि संख्या \(N\) को 9 से भाग देने पर शेषफल \(r\) है, तो उसके अंकों के योग को 9 से भाग देने पर भी वही शेषफल मिलेगा।
• भिन्न और दशमलव (Fractions and Decimals)
  • भिन्न का सरलीकरण:
    \[ \frac ab=\frac{a\div d}{b\div d} \]
    जहाँ \(d\), \(a\) और \(b\) का समान भाजक है।
  • दो भिन्नों का जोड़:
    \[ \frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd} \]
  • दो भिन्नों का घटाव:
    \[ \frac ab-\frac cd=\frac{ad-bc}{bd} \]
  • दो भिन्नों का गुणन:
    \[ \frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd} \]
  • दो भिन्नों का भाग:
    \[ \frac ab\div\frac cd=\frac{ad}{bc} \]
    जहाँ हर आवश्यक भाजक शून्य न हो।
  • समाप्य दशमलव: सरलतम रूप में भिन्न का हर \(2^m5^n\) के रूप में हो।
  • आवर्ती दशमलव: सरलतम रूप में हर में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव अनंत आवर्ती होगा।
• Factorial (फैक्टोरियल)
  • परिभाषा:
    \[ n!=n(n-1)(n-2)\cdots3\times2\times1 \]
  • विशेष तथ्य: \(0!=1\) और \(1!=1\)
  • \(n!\) में किसी अभाज्य \(p\) की घात:
    \[ v_p(n!)=\left\lfloor\frac np\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{p^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{p^3}\right\rfloor+\cdots \]
    जब तक \(p^k\le n\)।
  • \(n!\) के अंत में शून्यों की संख्या:
    \[ Z=\left\lfloor\frac n5\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{125}\right\rfloor+\cdots \]
    जब तक \(5^k\le n\)।
• महत्वपूर्ण त्वरित तथ्य (Quick Revision)
  • सबसे छोटी अभाज्य संख्या = 2
  • एकमात्र सम अभाज्य संख्या = 2
  • सबसे छोटी भाज्य प्राकृतिक संख्या = 4
  • दो क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ हमेशा सह-अभाज्य होती हैं।
  • दो क्रमागत पूर्णांकों में एक सम और दूसरा विषम होता है।
  • पूर्ण वर्ग का इकाई अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हो सकता है।
  • पूर्ण वर्ग का इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 नहीं हो सकता।
  • पूर्ण वर्ग के अंत में शून्यों की संख्या हमेशा सम होती है।
  • पूर्ण घन के अंत में शून्यों की संख्या 3 के गुणज में होती है।
  • यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें सम हों, तो वह पूर्ण वर्ग है।
  • यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें 3 के गुणज हों, तो वह पूर्ण घन है।
  • दो धनात्मक संख्याओं का HCF उनके LCM को विभाजित करता है।
  • यदि \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हों, तो \(\operatorname{HCF}(a,b)=1\) तथा \(\operatorname{LCM}(a,b)=ab\)।

multiplication tables from 12 to 25