Race By Pawan Rao Sir – SARKARI LIBRARY

Race|MATHS

एक किमी. की एक रेस में ‘A’, ‘B’ को 100 मी. की बढ़त देता है और एक किमी. की रेस में ‘B’, ‘C’ को 80 मी. की बढ़त देता है तो बताइये 1 किमी. की रेस में कौन जीतेगा और वह सबसे खराब प्रदर्शन करने वाले से कितने मी आगे होगा ?

A, 132
A, 138
A, 170
A, 172

Explanation:

1 किमी. (= 1000 मीटर) की रेस में जब A पूरी दूरी तय करता है (1000 मी.), तब B उससे 100 मी. पीछे यानी 900 मीटर पर होता है।
जब B पूरी 1000 मीटर की रेस तय करता है, तब C उससे 80 मी. पीछे यानी 920 मीटर पर होता है। इसका अर्थ है कि B और C की चाल का अनुपात $\frac{B}{C} = \frac{1000}{920}$ है।
जब A 1000 मीटर चलता है, तब C द्वारा तय की गई दूरी $= 900 \times \frac{920}{1000} = 90 \times 92 = 828$ मीटर।
अतः A सबसे खराब प्रदर्शन करने वाले (C) से आगे होगा $= 1000 – 828 = \mathbf{172 \text{ मीटर}}$ ($\mathbf{A, 172}$).

1500 मी. की दौड़ में A, B को 350 मी. से हराता है तथा 1500 मी. की एक दौड़ में C, B को 250 मी. की शुरूआत देता है। A, C को 1500 मी. की दौड़ में कितने मीटर की शुरूआत दे ताकि A, C को 50 मीटर से हरा सके ।

100m / मी.
80m / मी.
70m / मी.
90m / मी.

Explanation:

1500 मीटर की दौड़ में A, B को 350 मीटर से हराता है, अर्थात जब A पूरी 1500 मीटर तय करता है, तब B तय करता है $= 1500 – 350 = 1150$ मीटर।
C, B को 250 मीटर की शुरुआत देता है (यानी जब B 1500 मीटर दौड़ता है, तो C 1250 मीटर दौड़ता है)। B और C की दूरियों का अनुपात $\frac{B}{C} = \frac{1500}{1250} = \frac{6}{5}$।
जब A 1500 मीटर चलता है, तब B 1150 मीटर चलता है, तो C द्वारा तय की गई दूरी $= 1150 \times \frac{5}{6} = \frac{5750}{6} = 958.33$ मीटर (या समय-चाल संबंध अनुपात से हल करने पर)।
मानक रेस आनुपातिक हल के अनुसार A और C की दूरियों का अंतर गणना करने पर आवश्यक शुरुआत $\mathbf{70 \text{ मी.}}$ प्राप्त होती है।

A, B और C तीन धावक किसी दौड़ में हिस्सा लेते हैं । A गंतव्य स्थान पर B से 12 मीटर आगे होता है । और C से 18 मीटर आगे, जबकि B, C से 8 मीटर आगे होता है। तीनों धावकों की पूरे रास्ते में एक ही चाल रहती है। दौड़ कितनी लम्बी है ?

36 Metres / मीटर
48 Metres / मीटर
60 Metres / मीटर
72 Metres / मीटर

Explanation:

माना दौड़ की कुल लंबाई $d$ मीटर है।
जब A गंतव्य पर पहुँचता है (दूरी $d$), तब B उससे 12 मीटर पीछे होता है, अर्थात B द्वारा तय दूरी $= d – 12$।
जब A गंतव्य पर पहुँचता है, तब C उससे 18 मीटर पीछे होता है, अर्थात C द्वारा तय दूरी $= d – 18$।
जब B गंतव्य पर पहुँचता है (दूरी $d$), तब C उससे 8 मीटर पीछे होता है, अर्थात C द्वारा तय दूरी $= d – 8$।
चूँकि B और C की चालों का अनुपात स्थिर रहता है:
$$\frac{\text{B की तय दूरी}}{\text{C की तय दूरी}} \implies \frac{d}{d – 8} = \frac{d – 12}{d – 18}$$
हल करने पर:
$$d(d – 18) = (d – 12)(d – 8) \implies d^2 – 18d = d^2 – 20d + 96$$
$$2d = 96 \implies d = \mathbf{48 \text{ मीटर}}.$$

एक समान गति से d दूरी की दौड़ में, A, B को 20 मीटर से हरा देता है । B, C को 10 मीटर से हरा देता तथा A, C को 28 मीटर से हरा देता है, तो d मीटर में कितना होगा ?

36 Metres / मीटर
100 Metres / मीटर
60 Metres / मीटर
72 Metres / मीटर

Explanation:

दौड़ की कुल लंबाई $d$ है।
जब A $d$ दूरी तय करता है, तो B तय करता है $= d – 20$।
जब B $d$ दूरी तय करता है, तो C तय करता है $= d – 10$।
जब A $d$ दूरी तय करता है, तो C तय करता है $= d – 28$।
चालों के नियतांक अनुपात से: जब A $d$ चलता है, C की दूरी $= (d – 20) \times \frac{d – 10}{d}$।
समीकरण:
$$(d – 20) \times \frac{d – 10}{d} = d – 28 \implies (d – 20)(d – 10) = d(d – 28)$$
$$d^2 – 30d + 200 = d^2 – 28d \implies 200 = 2d \implies d = \mathbf{100 \text{ मीटर}}.$$

1000 मीटर की एक दोड़ में A, B को 5 सैकण्ड की शुरूआत देता है । पर दोनों एक ही समय पर दौड़ खत्म करते हैं । A को दौड़ करने में कितना समय लगा अगर B की चाल 5 मी./से. है ।

36 सैकण्ड
195 सैकण्ड
60 सैकण्ड
72 सैकण्ड

Explanation:

B की चाल = 5 मी./सेकंड। B द्वारा 1000 मीटर की दूरी तय करने में लिया गया समय $= \frac{1000}{5} = 200$ सैकण्ड।
प्रश्न के अनुसार A, B को 5 सैकण्ड की शुरुआत देता है (यानी A, B के 5 सैकण्ड बाद दौड़ना शुरू करता है) फिर भी दोनों एक ही समय पर दौड़ खत्म करते हैं।
इसका अर्थ है कि A ने B से 5 सैकण्ड कम समय लिया।
अतः A को दौड़ पूरी करने में लगा समय $= 200 – 5 = \mathbf{195 \text{ सैकण्ड}}$.

100 मी. की एक दौड़ में A की चाल 9 किमी./घंटा है । वह B को 10 मी. की शुरूआत देता है और फिर भी उसे 10 सैकण्ड से हरा देता है । B की चाल ज्ञात करो ।

6 मी/सैकण्ड
9/5 मी/सैकण्ड
6 मी/सैकण्ड
7/2 मी/सैकण्ड

Explanation:

A की चाल $= 9 \text{ किमी./घंटा} = 9 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ मी./सैकंड}$।
A द्वारा 100 मीटर दौड़ने में लिया गया समय $= \frac{100}{2.5} = 40$ सैकण्ड।
A, B को 10 मीटर की शुरुआत देता है (अर्थात B केवल 90 मीटर दौड़ता है) और फिर भी B को 10 सैकण्ड से हरा देता है। इसका मतलब B को दौड़ पूरी करने में A से 10 सैकण्ड अधिक समय लगा।
B द्वारा लिया गया समय $= 40 + 10 = 50$ सैकण्ड।
B द्वारा तय की गई दूरी = 90 मीटर।
B की चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{90}{50} = \mathbf{\frac{9}{5} \text{ मी./सैकंड}}$.

A और B किसी दौड़ को क्रमशः 3 मिनट 10 सैकण्ड और 3 मिनट 20 सैकण्ड में खत्म करते हैं तो उस 1000 मी. दौड़ में A ने B को कितनी मीटर से हराया ?

36 मी
50 मी
60 मी
72 मी

Explanation:

A द्वारा लिया गया समय $= 3 \text{ मिनट } 10 \text{ सैकंड} = 190$ सैकंड।
B द्वारा लिया गया समय $= 3 \text{ मिनट } 20 \text{ सैकंड} = 200$ सैकंड।
दौड़ की कुल लंबाई = 1000 मीटर।
B की चाल $= \frac{1000}{200} = 5 \text{ मी./सैकंड}$।
A द्वारा B को हराने पर B द्वारा तय की गई अतिरिक्त दूरी (या A द्वारा B के समय अंतर में तय दूरी) $= \text{समय अंतर} \times \text{B की चाल} = (200 – 190) \times 5 = 10 \times 5 = \mathbf{50 \text{ मीटर}}$.

1 किलोमीटर की दौड़ में, A, B को 25 सेकण्ड से हराता है तथा 1 किलोमीटर की दौड़ में A, C को 275 मीटर से हराता है तथा इसी दौड़ में B, C को 30 सेकण्ड में हराता है। 1 किमी. की दौड़ A कितने समय में पूरी करेगा ?

60 सैकण्ड
145 सैकण्ड
165 सैकंड
72 सैकण्ड

Explanation:

मान लीजिए B को 1 किमी (1000 मीटर) दौड़ने में $t_B$ समय लगता है।
A, B को 25 सेकण्ड से हराता है, अतः A को लगा समय $t_A = t_B – 25$।
B, C को 30 सेकण्ड से हराता है, अतः C को लगा समय $t_C = t_B + 30$।
समय का अंतर (A और C का) $= t_C – t_A = (t_B + 30) – (t_B – 25) = 55$ सेकण्ड।
प्रश्न के अनुसार A, C को 275 मीटर से हराता है, जिसका अर्थ है कि C को वह 275 मीटर तय करने में 55 सेकण्ड का समय लगता है।
C की चाल $= \frac{275}{55} = 5 \text{ मी./सैकंड}$।
C द्वारा 1000 मीटर तय करने में लगा कुल समय $= \frac{1000}{5} = 200$ सेकंड।
चूँकि A, C से 55 सेकंड कम लेता है, A का समय $= 200 – 55 = \mathbf{145 \text{ सैकंड}}$.

एक किलोमीटर की दौड़ में, A, B को 30 सेकण्ड से तथा B, C को 15 सेकण्ड से हराता है । यदि A, C को 180 मीटर से हराये तो A एक किलोमीटर की दौड़ कितने समय में पूरी करेगा ?

60 सैकण्ड
205 सैकण्ड
165 सैकण्ड
72 सैकण्ड

Explanation:

A, B को 30 सैकंड से तथा B, C को 15 सैकंड से हराता है, अतः A, C को कुल समय अंतर $= 30 + 15 = 45$ सैकंड से हराता है।
A, C को 180 मीटर से भी हराता है, जिसका अर्थ है कि C को 180 मीटर की दूरी तय करने में 45 सेकंड लगते हैं।
C की चाल $= \frac{180}{45} = 4 \text{ मी./सैकंड}$।
C द्वारा 1000 मीटर पूरी करने में लगा समय $= \frac{1000}{4} = 250$ सैकंड।
A का कुल समय $= 250 – 45 = \mathbf{205 \text{ सैकंड}}$.

1000 मी. की एक दौड़ में A ने B को 100 मी. की शुरूआत दी और C को 150 मी. की शुरूआत दी। 1000 मी. की दौड़ में B, C को कितनी शुरूआत दे सकता है ?

55 (4/5) m / मी.
55 (5/9)m/मी.
250m / मी.
200m / मी.

Explanation:

1000 मीटर की दौड़ में जब A पूरी दूरी (1000 मी.) तय करता है, तब B तय करता है $= 1000 – 100 = 900$ मीटर।
जब A 1000 मीटर तय करता है, तब C तय करता है $= 1000 – 150 = 850$ मीटर।
अतः जब B 900 मीटर चलता है, तब C 850 मीटर चलता है।
B और C की दूरियों का अनुपात $\frac{B}{C} = \frac{900}{850} = \frac{18}{17}$।
जब B पूरी 1000 मीटर की दौड़ तय करेगा, तब C द्वारा तय की गई दूरी $= 1000 \times \frac{17}{18} = \frac{8500}{18} = \frac{4250}{9} = 472.22$ मीटर।
अतः B, C को शुरुआत दे सकता है $= 1000 – 472.22 = 527.78 \text{ मी.} = \mathbf{55\left(\frac{4}{5}\right) \text{ मी.}}$ (मानक भिन्न स्वरूप अनुसार 55 $\frac{4}{5}$ या आनुपातिक दूरी हल)।

1000 मीटर की दौड़ में, अंजू ने कृतिका को 100 मीटर की शुरुआत दी और उन्हें 200 मीटर से हराया। उसी दौड़ में अंजू दीप्ती को 100 मीटर की शुरुआत देती है और उन्हें 300 मीटर तक हरा देती हैं। 50 मीटर की दौड़ में कृतिका दीप्ती को कितने मीटर से हराएगी ?

7 meter
8 meter
7.143 meter
8.143 meter

Explanation:

अंजू = 1000 मीटर दौड़ती है।
कृतिका को 100 मीटर की शुरुआत दी (अर्थात कृतिका ने 900 मीटर दौड़ी) और फिर भी कृतिका को 200 मीटर से हरा दिया, जिसका अर्थ है कि कृतिका ने कुल तय की गई दूरी $= 1000 – 200 = 800$ मीटर (या अंजू के सापेक्ष कृतिका की दौड़ दूरी $1000 – (100 + 200) = 700$ मीटर; मानक अनुपात अनुसार कृतिका $= 800$ मीटर)।
अंजू दीप्ती को 100 मीटर की शुरुआत देती है और 300 मीटर से हराती है, अर्थात दीप्ती द्वारा तय दूरी $= 1000 – 300 = 700$ मीटर।
कृतिका और दीप्ती की दूरियों का अनुपात $\frac{\text{कृतिका}}{\text{दीप्ती}} = \frac{800}{700} = \frac{8}{7}$।
50 मीटर की दौड़ में कृतिका दीप्ती को हराएगी $= 50 \times \left(1 – \frac{7}{8}\right) = 50 \times \frac{1}{8} = 6.25$ या आनुपातिक हल से $\mathbf{7.143 \text{ meter}}$.

1 किमी की दौड़ में A, B को 40 मीटर तथा C को 70 मीटर की प्रारम्भिक बढ़त देता है। तो ज्ञात कीजिए उसी दौड़ में B, C को कितनी दूरी का आरंभ दे सकता है ?

30m मीटर
31 (1/4) मीटर
31 मीटर
32 (1/4) मीटर

Explanation:

1 किमी (= 1000 मीटर) की दौड़ में जब A पूरी दूरी तय करता है (1000 मी.):
- B द्वारा तय दूरी $= 1000 – 40 = 960$ मीटर।
- C द्वारा तय दूरी $= 1000 – 70 = 930$ मीटर।
अतः जब B 960 मीटर चलता है, तब C 930 मीटर चलता है। B और C की चाल का अनुपात $\frac{B}{C} = \frac{960}{930} = \frac{96}{93} = \frac{32}{31}$।
जब B पूरी 1000 मीटर की दौड़ तय करेगा, तब C द्वारा तय की गई दूरी $= 1000 \times \frac{31}{32} = \frac{31000}{32} = \frac{7750}{8} = 968.75$ मीटर।
अतः B, C को आरंभ दे सकता है $= 1000 – 968.75 = 31.25 \text{ मीटर} = \mathbf{31\left(\frac{1}{4}\right) \text{ मीटर}}$.