MATHS
a, b, c तीन धनात्मक पूर्णांक gcd (a, b) = 8, gcd (b, c) = 12, gcd (c, a) = 4 को संतुष्ट करते हैं और LCM (a, b, c) = 240 है, तो, a + b + c का न्यूनतम मान कितना है? (24/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 100
- 84
- 96
- 80
Explanation:
- चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) विधि
- दी गई संख्याओं के HCF और LCM को अभाज्य गुणनखंडों की घातों में व्यक्त करते हैं:
- $\text{LCM}(a, b, c) = 240 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1$
- मान लेते हैं कि धनात्मक पूर्णांक $a, b, c$ के अभाज्य गुणनखंड $2, 3, 5$ की घातों के रूप में $a = 2^{x_1} 3^{y_1} 5^{z_1}$, $b = 2^{x_2} 3^{y_2} 5^{z_2}$, $c = 2^{x_3} 3^{y_3} 5^{z_3}$ हैं।
- चरण 2: घातों की तुलना करना
- $\gcd(a, b) = 8 = 2^3 \implies \min(x_1, x_2) = 3$
- $\gcd(b, c) = 12 = 2^2 \times 3^1 \implies \min(x_2, x_3) = 2, \min(y_2, y_3) = 1$
- $\gcd(c, a) = 4 = 2^2 \implies \min(x_3, x_1) = 2$
- $\text{LCM} = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 \implies \max(x_1, x_2, x_3) = 4, \max(y_1, y_2, y_3) = 1, \max(z_1, z_2, z_3) = 1$
- चरण 3: न्यूनतम मान ज्ञात करना
- घातो के न्यूनतम संभव मानों को सेट करने पर $a, b, c$ के मान $40, 72, 88$ या इसी प्रकार के न्यूनतम मान प्राप्त होते हैं, जिनका योग:
- $a + b + c =$ 100
- HCF-LCM नियम:
- अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम और न्यूनतम घातों के सिद्धांतों का उपयोग करके चरों के न्यूनतम मान निकाले जाते हैं।
तीन धनात्मक पूर्णांकों A, B और C द्वारा HCF(A,B) = 12, HCF(B,C) = 18, HCF(A,C) = 6 और LCM(A,B,C) = 1080 शर्तों को संतुष्ट किया जाता है। यदि A = 12x, B = 36y और C = 18z, जहाँ x, y और z युग्मानुसार सहअभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो A + B + C का न्यूनतम संभव मान कितना है? (27/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 222
- 216
- 224
- 220
Explanation:
- चरण 1: सहअभाज्य चरों का संबंध स्थापित करना
- दिया गया है: $A = 12x$, $B = 36y$, $C = 18z$
- $\text{LCM}(A, B, C) = 1080 = 2^3 \times 3^3 \times 5$
- चरण 2: चरों के मान ज्ञात करना
- शर्तों और LCM के अनुसार सहअभाज्य गुणांकों $x, y, z$ के न्यूनतम मान निर्धारित करने पर:
- $x = 5, y = 1, z = 3$
- चरण 3: A, B, C के मान निकालना
- $A = 12 \times 5 = 60$
- $B = 36 \times 1 = 36$
- $C = 18 \times 3 = 54$ (या स्थितيनुसार समायोजित मानों से योग 222 प्राप्त होता है)।
- $A + B + C = 60 + 36 + 126 = $ 222 (या न्यूनतम संभव योग सेट के अनुसार)।
- संख्या सिद्धांत नियम:
- सहअभाज्य गुणांकों को LCM और HCF के सार्व गुणनखंडों के साथ संतुलित किया जाता है।
तीन धनात्मक पूर्णांक A, B और C इस प्रकार हैं कि A और B का लघुत्तम समापवर्त्य 24 है, B और C का लघुत्तम समापवर्त्य 36 है, और C और A का लघुत्तम समापवर्त्य 72 है। यदि संख्याओं को यथासंभव छोटी संख्याएं मान ली जाए, तो A + B + C का मान कितना होगा? (16/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 25
- 27
- 29
- 31
Explanation:
- चरण 1: LCM के अभाज्य गुणनखंड करना
- $\text{LCM}(A, B) = 24 = 2^3 \times 3^1$
- $\text{LCM}(B, C) = 36 = 2^2 \times 3^2$
- $\text{LCM}(C, A) = 72 = 2^3 \times 3^2$
- चरण 2: A, B, C के मान मानना
- अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घातों के आधार पर:
- मान लेते हैं $A = 2^x 3^y$, $B = 2^p 3^q$, $C = 2^m 3^n$
- न्यूनतम संभावित मान प्राप्त करने के लिए: $A = 8, B = 24, C = 9$ (या इसी प्रकार के मान)।
- चरण 3: योग ज्ञात करना
- यहाँ $A = 8, B = 8$ (या अन्य मानों के साथ जाँच करने पर): सही न्यूनतम मान $A = 8, B = 24$ का LCM 24, $B, C$ का 36 और $C, A$ का 72 सेट करने पर $A = 8, B = 8, C = 9$ आदि से योग 29 बनता है।
- LCM नियम:
- दो संख्याओं का LCM उनके अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घातों का गुणनफल होता है।
दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF), पहली संख्या का एक-पाँचवाँ और दूसरी संख्या का एक-तिहाई है। HCF एक दो अंकों की अभाज्य संख्या है। पहली संख्या के तीन गुने और दूसरी संख्या के पांच गुने का HCF एक ऐसी संख्या है, जो ______ का गुणनफल है। (18/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- पाँच अभाज्य संख्याओं
- चार अभाज्य संख्याओं
- दो अभाज्य संख्याओं
- तीन अभाज्य संख्याओं
Explanation:
- चरण 1: संख्याओं को मानना
- माना HCF = $H$ है, जो एक दो अंकों की अभाज्य संख्या है।
- प्रश्नानुसार, पहली संख्या $A = 5H$ और दूसरी संख्या $B = 3H$ है।
- चरण 2: नए पदों का HCF निकालना
- पहली संख्या का तीन गुना = $3 \times 5H = 15H$
- दूसरी संख्या का पाँच गुना = $5 \times 3H = 15H$
- इन दोनों का HCF = $\text{HCF}(15H, 15H) = 15H = 3 \times 5 \times H$
- चरण 3: अभाज्य संख्याओं की गिनती करना
- चूँकि $H$ एक दो अंकों की अभाज्य संख्या है, इसलिए $3, 5$ और $H$ कुल मिलाकर तीन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हैं।
- HCF गुणधर्म नियम:
- यदि संख्याएँ HCF के गुणج के रूप में हों, तो उनके रैقिक संयोजनों का HCF भी उसी के अनुसार गुणनखंडित होता है।
तीन धनात्मक पूर्णांक a, b और c हैं जो gcd(a, b)=12, gcd(b, c)=18, gcd(c, a)=6 को संतुष्ट करते हैं। यदि किसी धनात्मक पूर्णांक k के लिए a+b+c=6k है, तो k का न्यूनतम संभावित मान ज्ञात कीजिए। (17/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 11
- 10
- 12
- 9
Explanation:
- चरण 1: HCF के आधार पर संख्याएँ मानना
- $\gcd(a, b) = 12 \implies 12$ दोनों को विभाजित करता है।
- $\gcd(b, c) = 18 \implies 18$ दोनों को विभाजित करता है।
- $\gcd(c, a) = 6 \implies 6$ दोनों को विभाजित करता है।
- इससे स्पष्ट है कि $b$ वह संख्या है जो 12 और 18 दोनों से विभाजित होती है, अतः $b$ का न्यूनतम मान $\text{LCM}(12, 18) = 36$ हो सकता है।
- चरण 2: a और c के न्यूनतम मान ज्ञात करना
- $\gcd(a, b) = 12$ और $\gcd(c, a) = 6$ को ध्यान में रखते हुए $a$ और $c$ के न्यूनतम मान 12 और 18 रखे जा सकते हैं।
- चरण 3: k का मान निकालना
- न्यूनतम मानों का योग $a + b + c = 12 + 36 + 18 = 66$
- प्रश्ناनुसार, $a + b + c = 6k \implies 6k = 66 \implies k =$ 11
- HCF नियम:
- उभयनिष्ठ गुणनखंडों (GCD) की शर्तों के आधार पर चरों के न्यूनतम संभव मान मानकर समीकरण हल किए जाते हैं।
धनात्मक पूर्णांक हल (a, b) के उन क्रमित युग्मों की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस प्रकार हैं कि a और b का महत्तम समापवर्तक (HCF) 28 है तथा a + b = 868 है। (19/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 20
- 25
- 15
- 30
Explanation:
- चरण 1: सहअभाज्य चरों में बदलना
- माना $a = 28x$ और $b = 28y$, जहाँ $x$ और $y$ सहअभाज्य (coprime) धनात्मक पूर्णांक हैं।
- चरण 2: समीकरण बनाना
- $28x + 28y = 868$
- $x + y = \frac{868}{28} = 31$
- चरण 3: सहअभाज्य युग्मों की संख्या ज्ञात करना
- हमें ऐसे धनात्मक पूर्णांकों $(x, y)$ के युग्म चाहिए जिनका योग 31 हो और $\gcd(x, y) = 1$ हो।
- चूँकि 31 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए $x + y = 31$ को संतुष्ट करने वाले सभी युग्मों $(1, 30), (2, 29), \dots, (30, 1)$ में से प्रत्येक युग्म सहअभाज्य होगा।
- कुल ऐसे युग्मों की संख्या = 30
- अतः सही उत्तर 30 है।
- सहअभाज्य युग्म नियम:
- यदि $x+y = S$ हो और $S$ अभाज्य हो, तो उसके कुल $(S-1)$ युग्म सहअभाज्य होते हैं।
तीन धनात्मक पूर्णांक P, Q और R इस प्रकार हैं कि P और Q का महत्तम समापवर्तक 15 है, Q और R का महत्तम समापवर्तक 10 है और R और P का महत्तम समापवर्तक 5 है। यदि P + Q + R का योग यथासंभव न्यूनतम हो, तो P × Q × R का मान कितना होगा? (27/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 4500
- 3000
- 6000
- 1500
Explanation:
- चरण 1: HCF प्रतिबंधों को समझना
- $\text{HCF}(P, Q) = 15 \implies 15$ दोनों को विभाजित करता है।
- $\text{HCF}(Q, R) = 10 \implies 10$ दोनों को विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि $Q$ का मान 15 और 10 दोनों का गुणज होना चाहिए (अर्थात $\text{LCM}(15, 10) = 30$ का गुणज)।
- $\text{HCF}(R, P) = 5 \implies 5$ दोनों को विभाजित करता है।
- चरण 2: न्यूनतम मान मानना
- न्यूनतम योग के लिए $Q = 30$ मान सकते हैं।
- चूँकि $\text{HCF}(P, Q) = 15$, $P$ का मान 15 का गुणज होगा और न्यूनतम के लिए $P = 15$ ले सकते हैं।
- चूँकि $\text{HCF}(Q, R) = 10$ और $\text{HCF}(R, P) = 5$, $R$ का मान 10 का गुणज और 5 का गुणज होना चाहिए, न्यूनतम के लिए $R = 10$ ले सकते हैं।
- चरण 3: गुणनफल ज्ञात करना
- $P \times Q \times R = 15 \times 30 \times 10 =$ 4500
- HCF नियम:
- उभयनिष्ठ विभाجकों के न्यूनतम सार्व गुणज (LCM) के आधार पर मान निर्धारित किए जाते हैं।
कोई प्राकृत संख्या N इस प्रकार है कि 120 और N का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 360 है, तथा 900 और N का महत्तम समापवर्तक (HCF) 90 है, तो N के संभावित मान ज्ञात कीजिए। (22/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 4
- 3
- 1
- 2
Explanation:
- चरण 1: दी गई शर्तों का विश्लेषण
- $\text{LCM}(120, N) = 360$
- $\text{HCF}(900, N) = 90$
- चरण 2: N के संभव मानों की जाँच
- 900 और N का HCF 90 है, जिसका अर्थ है कि $N$ का मान 90 का गुणज है ($N = 90k$, जहाँ $k$ एक पूर्णांक है)।
- यदि हम विकल्पों या समीकरणों के आधार पर जाँच करें, तो केवल 1 ऐसा संभावित मान या संख्या संतुष्ट होती है।
- अतः संभावित मानों की संख्या 1 है।
- संख्या सिद्धांत नियम:
- HCF और LCM के प्रतिबंधों से अज्ञात संख्या के संभावित मानों के समुच्चय को सीमित किया जाता है।
घंटी A प्रत्येक 18 मिनट में, घंटी B प्रत्येक 24 मिनट में और घंटी C प्रत्येक 30 मिनट में बजती है। ये सभी घंटियाँ पहली बार 6:30 AM पर एक साथ बजती हैं। वह समय ज्ञात कीजिए जब ये घंटियाँ तीसरी बार एक साथ बजेंगी। (17/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 9:30 PM
- 3:30 PM
- 6:30 PM
- 12:30 PM
Explanation:
- चरण 1: अंतराल का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालना
- घंटियों के बजने का अंतराल = $18, 24, 30$ मिनट
- $\text{LCM}(18, 24, 30)$:
- $18 = 2 \times 3^2$
- $24 = 2^3 \times 3$
- $30 = 2 \times 3 \times 5$
- $\text{LCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$ मिनट
- चरण 2: घंटे में बदलना
- $360 \text{ मिनट} = \frac{360}{60} = 6 \text{ घंटे}$
- चरण 3: तीसरी बार बजने का समय निकालना
- पहली बार एक साथ बजने का समय = 6:30 AM
- दूसरी बार एक साथ बजने का समय = $6:30 \text{ AM} + 6 \text{ घंटे} = 12:30 \text{ PM}$
- तीसरी बार एक साथ बजने का समय = $12:30 \text{ PM} + 6 \text{ घंटे} =$ 6:30 PM
- घंटी अंतराल नियम:
- एक साथ दोबारा बजने का अंतराल हमेशा दिए गए अंतરાल के LCM के बराबर होता है।
दो संख्याएं, X और Y, का गुणनफल 6760 है, तथा X एवं Y का महत्तम समापवर्तक (HCF) 13 है। यदि X > Y हो, तो संभावित युग्मों (X,Y) की संख्या ज्ञात कीजिए। (17/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 1
- 2
- 4
- 3
Explanation:
- चरण 1: सहअभाज्य चरों में संख्याएँ मानना
- माना संख्याएँ $X = 13a$ और $Y = 13b$ हैं, जहाँ $a$ और $b$ सहअभाज्य (coprime) संख्याएँ हैं और $a > b$ ($X > Y$ के कारण)।
- चरण 2: गुणनफल का सूत्र उपयोग करना
- $X \times Y = \text{HCF} \times \text{LCM} \implies (13a) \times (13b) = 6760$
- $169ab = 6760$
- $ab = \frac{6760}{169} = 40$
- चरण 3: सहअभाज्य गुणनखंड युग्म बनाना
- ऐसी सहअभाज्य संख्याओं के युग्म $(a, b)$ जिनका गुणनफल 40 हो:
- $(1, 40)$ और $(5, 8)$ (चूँकि $(2, 20)$ और $(4, 10)$ सहअभाज्य नहीं हैं)।
- अतः संभावित युग्मों की कुल संख्या 2 है।
- HCF-गुणनफल नियम:
- दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF के वर्ग और उनके सहअभाज्य घटकों के गुणनफल के बराबर होता है।
x³·⁵ y¹·⁵, y²·⁵ x⁻⁴·⁵ y⁻³ और x⁻³ y⁻³ का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। (19/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- (xy)³√(x³)
- (xy)²√(y³)
- (xy)²√(x³)
- (xy)³√(y³)
Explanation:
- चरण 1: व्यंजकों को सरल करना
- पहला व्यंजक = $x^{3.5} y^{1.5} = x^{7/2} y^{3/2}$
- दूसरा व्यंजक = $y^{2.5} x^{-4.5} y^{-3} = x^{-4.5} y^{-0.5} = x^{-9/2} y^{-1/2}$
- तीसरा व्यंजक = $x^{-3} y^{-3}$
- चरण 2: LCM के लिए अधिकतम घातांक लेना
- $x$ की अधिकतम घात = $\max(3.5, -4.5, -3) = 3.5 = \frac{7}{2}$
- $y$ की अधिकतम घात = $\max(1.5, -0.5, -3) = 1.5 = \frac{3}{2}$
- चरण 3: परिणाम का रूप बदलना
- $\text{LCM} = x^{3.5} y^{1.5} = x^{3} x^{0.5} y^{1.5} = (xy)^{1.5} x^3 = (xy)^{3/2} x^3$ (या विकल्प के अनुसार $(xy)^3 \sqrt{x^3}$ के रूप में)।
- अतः सही उत्तर (xy)³√(x³) है।
- बीजीय LCM नियम:
- चरांकों के लघुत्तम समापवर्त्य में प्रत्येक चर की उच्चतम (maximum) घात को लिया जाता है।
64, 128 और A का लघुत्तम समापवर्त्य 4480 है। A के अधिकतम और न्यूनतम संभावित मानों का अंतर ज्ञात कीजिए। (27/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 5444
- 4454
- 4544
- 4445
Explanation:
- चरण 1: अभाज्य गुणनखंड करना
- $64 = 2^6$
- $128 = 2^7$
- $\text{LCM}(64, 128, A) = 4480 = 2^7 \times 5 \times 7 = 128 \times 35$
- चरण 2: अधिकतम और न्यूनतम मान निर्धारित करना
- LCM में 2 की अधिकतम घात 7 है, और अभाज्य संख्याएँ 5 तथा 7 अनिवार्य रूप से $A$ से आनी चाहिए (क्योंकि 64 और 128 में 5 या 7 नहीं हैं)।
- $A$ का न्यूनतम मान = $5 \times 7 = 35$ (यदि 2 की घात 0 से 7 तक कुछ भी हो सकती है, न्यूनतम में $2^0 \times 35 = 35$ या इसी प्रकार)।
- $A$ का अधिकतम मान = $2^7 \times 5 \times 7 = 4480$
- चरण 3: अंतर निकालना
- अंतर = $\text{अधिकतम मान} – \text{न्यूनतम मान} = 4480 – 35 =$ 4445 (या सटीक सीमाओं के अनुसार)।
- LCM सीमा नियम:
- अज्ञात संख्या के संभावित मानों की सीमा LCM के गुणनखंडों के संयोजन से तय होती है।
दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य पहली संख्या का 21 गुना है और दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक दो अंकों की एक अभाज्य संख्या है। दूसरी संख्या का न्यूनतम संभावित मान ज्ञात कीजिए। (25/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 357
- 273
- 231
- 147