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1 से 100 तक की विषम धनात्मक पूर्णांकों के योग और 150 से 200 तक की सम धनात्मक पूर्णांकों के योग का अनुपात ज्ञात कीजिए। (27/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 50:71
- 50:81
- 50:91
- 50:101
Explanation:
- चरण 1: 1 से 100 तक की विषम धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात करना
- 1 से 100 तक कुल 50 विषम संख्याएँ होती हैं।
- प्रथम ‘n’ विषम संख्याओं का योग = n² होता है।
- योग = 50² = 2500
- चरण 2: 150 से 200 तक की सम धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात करना
- 150 से 200 तक की सम संख्याएँ: 150, 152, 154, …, 200 (यह एक समांतर श्रेणी है)।
- पदों की संख्या (n) = [(अंतिम पद – प्रथम पद) / अंतर] + 1 = [(200 – 150) / 2] + 1 = 25 + 1 = 26
- योग = (n / 2) × [प्रथम पद + अंतिम पद] = (26 / 2) × [150 + 200] = 13 × 350 = 4550
- चरण 3: अनुपात ज्ञात करना
- अनुपात = 2500 / 4550 = 250 / 455 = 50 : 91
- महत्वपूर्ण सूत्र:
- प्रथम ‘n’ सम संख्याओं का योग = n(n + 1)
- समांतर श्रेणी के ‘n’ पदों का योग = (n/2)[2a + (n-1)d]
तेजस्वी, त्रिशाना और मीना तीन बहनें हैं। तेजस्वी और त्रिशाना जुड़वाँ हैं। तेजस्वी और त्रिशाना की आयु का योगफल, मीना की आयु के बराबर है। चार वर्ष पूर्व, तेजस्वी और मीना की आयु का अनुपात 1 : 3 था। वर्तमान से चार वर्ष पश्चात त्रिशाना की आयु क्या होगी? (17/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 18 वर्ष
- 16 वर्ष
- 12 वर्ष
- 14 वर्ष
Explanation:
- चरण 1: समीकरण बनाना
- माना तेजस्वी की आयु = x, त्रिशाना की आयु = x (चूँकि दोनों जुड़वाँ हैं)।
- प्रश्ناनुसार, मीना की आयु = x + x = 2x
- चरण 2: 4 वर्ष पूर्व की स्थिति
- 4 वर्ष पूर्व तेजस्वी की आयु = x – 4
- 4 वर्ष पूर्व मीना की आयु = 2x – 4
- दिया गया अनुपात: (x – 4) / (2x – 4) = 1 / 3
- 3(x – 4) = 1(2x – 4) ⇒ 3x – 12 = 2x – 4 ⇒ x = 8
- अतः, वर्तमान में त्रिशाना की आयु = 8 वर्ष।
- चरण 3: 4 वर्ष पश्चात त्रिशाना की आयु
- 4 वर्ष बाद त्रिशाना की आयु = 8 + 4 = 12 वर्ष
- आयु संबंधी महत्वपूर्ण नियम:
- अनुपात वाले प्रश्नों में ‘x’ मानकर समीकरण हल करना सबसे सटीक तरीका है।
- दो व्यक्तियों की आयु का अंतर हमेशा समान रहता है।
एक डेटा वैज्ञानिक ने पाया कि दो प्रायोगिक मानों 18 और 32 के बीच माध्यानुपाती को मॉडल के इष्टतम निष्पादन के लिए 25% बढ़ाने की आवश्यकता है। यदि यह नया बढ़ा हुआ मान 18 और किसी अन्य मान y के बीच माध्यानुपाती बन जाता है, तो y का मान क्या है? (17/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 45
- 50
- 54
- 48
Explanation:
- चरण 1: 18 और 32 का माध्यानुपाती (Mean Proportional) ज्ञात करना
- माध्यानुपाती = √(a × b) = √(18 × 32) = √576 = 24
- चरण 2: मान को 25% बढ़ाना
- नया मान = 24 का 125% = 24 × (125 / 100) = 24 × (5 / 4) = 30
- चरण 3: y का मान ज्ञात करना
- प्रश्ناनुसार, 30, यह 18 और y का माध्यानुपाती है।
- 30 = √(18 × y)
- दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 900 = 18 × y ⇒ y = 900 / 18 = 50
- समानुपात के मुख्य सूत्र:
- दो संख्याओं ‘a’ और ‘b’ का माध्यानुपाती = √ab
- तृतीय आनुपातिक (Third Proportional) = b² / a
- चतुर्थ आनुपातिक (Fourth Proportional) = bc / a
P, Q और R प्रकार की प्रत्येक वस्तु की कीमत क्रमशः ₹280, ₹180 और ₹115 है। यशित प्रत्येक प्रकार की वस्तुएँ 4 : 2 : 7 के अनुपात में ₹6,855 में खरीदता है। उसने Q प्रकार की कितनी वस्तुएँ खरीदी? (18/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 12
- 6
- 14
- 3
Explanation:
- चरण 1: वस्तुओं की संख्या मानना
- माना खरीदी गई वस्तुएँ क्रमशः 4k, 2k और 7k हैं।
- चरण 2: कुल लागत समीकरण बनाना
- P प्रकार का कुल मूल्य = 4k × 280 = 1120k
- Q प्रकार का कुल मूल्य = 2k × 180 = 360k
- R प्रकार का कुल मूल्य = 7k × 115 = 805k
- कुल खर्च = 1120k + 360k + 805k = 2285k
- प्रश्नानुसार, कुल खर्च = ₹6,855
- 2285k = 6855 ⇒ k = 6855 / 2285 = 3
- चरण 3: Q प्रकार की वस्तुओं की संख्या
- Q प्रकार की वस्तुएँ = 2k = 2 × 3 = 6 वस्तुएँ
- अनुपात एवं समानुपात के नियम:
- जब अनुपात दिया हो, तो उन्हें किसी चर (जैसे k) के साथ गुणा करके वास्तविक मात्रा निकाली जाती है।
P, Q और R प्रकार की प्रत्येक वस्तु की कीमत क्रमशः ₹280, ₹180 और ₹115 है। तेजस प्रत्येक प्रकार की वस्तुएँ 4 : 2 : 5 के अनुपात में ₹6,165 में खरीदता है। उसने Q प्रकार की कितनी वस्तुएँ खरीदी? (16/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 14
- 6
- 3
- 12
Explanation:
- चरण 1: वस्तुओं की संख्या मानना
- माना वस्तुएँ 4k, 2k और 5k हैं।
- चरण 2: कुल लागत निकालना
- कुल मूल्य = (4k × 280) + (2k × 180) + (5k × 115)
- कुल मूल्य = 1120k + 360k + 575k = 2055k
- प्रश्नानुसार, 2055k = 6165 ⇒ k = 6165 / 2055 = 3
- चरण 3: Q प्रकार की वस्तुएँ
- Q प्रकार की वस्तुएँ = 2k = 2 × 3 = 6 वस्तुएँ
- महत्वपूर्ण अंकगणितीय तथ्य:
- क्रय मूल्य = वस्तुओं की संख्या × प्रति वस्तु मूल्य
5 : 12, 14 : 31, 8 : 33 और 17 : 39 में सबसे बड़ा अनुपात कौन-सा है? (16/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 8 : 33
- 14 : 31
- 5 : 12
- 17 : 39
Explanation:
- चरण 1: भिन्नों (Decimals) में बदलना
- 5 / 12 ≈ 0.4166
- 14 / 31 ≈ 0.4516
- 8 / 33 ≈ 0.2424
- 17 / 39 ≈ 0.4358
- चरण 2: तुलना करना
- स्पष्ट है कि 0.4516 सबसे बड़ा मान है, जो कि 14 : 31 का मान है।
- अनुपात की तुलना करने की विधियाँ:
- क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन (Vajra Gunana) विधि से दो अनुपातों की तुलना आसानी से की जा सकती है।
- अंश को बड़ा करने के लिए हर से भाग देकर दशमलव मान निकालना सबसे तेज तरीका है।
P, Q और R प्रकार की प्रत्येक वस्तु की कीमत क्रमशः ₹280, ₹180 और ₹115 है। रानू प्रत्येक प्रकार की वस्तुएँ 4 : 4 : 3 के अनुपात में ₹6,555 में खरीदता है। उसने Q प्रकार की कितनी वस्तुएँ खरीदी? (27/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 9
- 12
- 20
- 18
Explanation:
- चरण 1: वस्तुओं की संख्या मानना
- माना वस्तुएँ 4k, 4k और 3k हैं।
- चरण 2: कुल लागत समीकरण बनाना
- कुल मूल्य = (4k × 280) + (4k × 180) + (3k × 115)
- कुल मूल्य = 1120k + 720k + 345k = 2185k
- प्रश्नानुसार, 2185k = 6555 ⇒ k = 6555 / 2185 = 3
- चरण 3: Q प्रकार की वस्तुएँ
- Q प्रकार की वस्तुएँ = 4k = 4 × 3 = 12 वस्तुएँ
- व्यावहारिक गणित तथ्य:
- अनुपात समस्याओं में ‘k’ का मान ज्ञात करने के बाद उसे किसी भी पद से गुणा करके सटीक संख्या प्राप्त की जा सकती है।
एक रासायनिक अनुसंधान प्रयोगशाला तीन यौगिकों A, B, और C का उपयोग करती है जिसका लागत अनुपात 3 : 5 : 7 है। जब मिश्रण में चौथे यौगिक D को मिलाया जाता है, तो कुल लागत 40% बढ़ जाती है। यदि नया अनुपात A : B : C : D = 3 : 5 : 7 : x हो जाता है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (19/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 9
- 8
- 4
- 6
Explanation:
- चरण 1: मूल लागत मानना
- माना यौगिकों A, B और C की मूल लागत क्रमशः 3k, 5k और 7k है।
- मूल कुल लागत = 3k + 5k + 7k = 15k
- चरण 2: नई कुल लागत निकालना
- चूँकि कुल लागत 40% बढ़ जाती है, अतः नई कुल लागत = 15k का 140% = 15k × 1.4 = 21k
- चरण 3: यौगिक D की लागत ज्ञात करना
- चूँकि नए यौगिक मिलाने पर कुल लागत 21k हो गई है और पहले 15k थी, अतः यौगिक D का मान = 21k – 15k = 6k
- चरण 4: x का मान निकालना
- नया अनुपात 3 : 5 : 7 : x है, जिसका अर्थ है कि D का हिस्सा 6k है। चूँकि इकाई अनुपात में पैमाना ‘k’ है, इसलिए x = 6
- अनुपात विश्लेषण नियम:
- मिश्रण और लागत के प्रश्नों में प्रतिशत वृद्धि को कुल योग पर लागू किया जाता है।
दो मित्रों अजय और अमित की मासिक आय का अनुपात क्रमशः 6 : 7 है तथा दोनों में से प्रत्येक हर माह ₹63,000 की बचत करते हैं। यदि उनके मासिक व्यय का अनुपात 2 : 4 है, तो अजय की मासिक आय (₹ में) ज्ञात कीजिए। (27/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 74,600
- 1,05,840
- 76,600
- 75,600
Explanation:
- चरण 1: आय और व्यय के चर मानना
- अजय और अमित की आय = 6k और 7k
- चूँकि इस प्रकार के सीधे अनुपात में व्यय का अनुपात असंगत लग सकता है, इसे समीकरण विधि से हल करते हैं:
- आय – बचत = व्यय ⇒ (6k – 63000) / (7k – 63000) = व्यय का अनुपात
- मानक विधि के अनुसार, यदि दोनों समान बचत करते हैं, तो आय के अंतर और व्यय के अंतर को संतुलित किया जाता है। यहाँ सीधी गणना से:
- यदि विकल्प परीक्षण करें या मानक समीकरण हल करें: 6k – व्यय1 = 63000।
- दिए गए विकल्पों के अनुसार अजय की आय 6 का गुणज होनी चाहिए। 75600 / 6 = 12600।
- सत्यापन: यदि अजय की आय ₹75,600 है (6 भाग = 75600 ⇒ 1 भाग = 12600), तो अमित की आय = 7 × 12600 = ₹88,200।
- बचत = ₹63,000 प्रत्येक की, अतः अजय का व्यय = 75600 – 63000 = 12600, और अमित का व्यय = 88200 – 63000 = 25200।
- व्यय का अनुपात = 12600 : 25200 = 1 : 2 (या 2 : 4)। अतः ₹75,600 सही उत्तर है।
- आय-व्यय का स्वर्ण नियम:
- आय = व्यय + बचत
- बचत समान होने पर दोनों की आय का अंतर और व्यय का अंतर समान अनुपात में होना चाहिए।
यदि दो संख्याओं का माध्यानुपाती 14 है तथा तृतीयानुपाती 112 है, तो वे संख्याएं ज्ञात कीजिए। (18/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 14,14
- 7,28
- 4,44
- 4,49
Explanation:
- चरण 1: सूत्रों का उपयोग करना
- माना दो संख्याएँ ‘a’ और ‘b’ हैं।
- माध्यानुपाती = √ab = 14 ⇒ ab = 14² = 196
- तृतीयानुपाती = b² / a = 112 ⇒ b² = 112a
- चरण 2: विकल्पों की जाँच करना
- विकल्प (7, 28) की जाँच करने पर:
- माध्यानुपाती = √(7 × 28) = √196 = 14 (सत्य)
- तृतीयानुपाती = 28² / 7 = 784 / 7 = 112 (सत्य)
- अतः सही संख्याएँ 7 और 28 हैं।
- समानुपात के महत्वपूर्ण सूत्र:
- यदि तीन संख्याएँ a, b, c समानुपात में हों, तो b² = ac (तृतीय आनुपातिक)।
- माध्यानुपाती हमेशा दो राशियों के गुणनफल का वर्गमूल होता है।
दो मित्रों, तुषार और शिल्प, की मासिक आय का अनुपात क्रमशः 6 : 7 है और उनमें से प्रत्येक प्रति माह ₹66,000 की बचत करता है। यदि उनके मासिक व्यय का अनुपात 2 : 4 है, तो तुषार की मासिक आय (₹ में) ज्ञात कीजिए। (25/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 1,10,880
- 79,200
- 78,200
- 80,200
Explanation:
- चरण 1: आय और व्यय मानना
- तुषार और शिल्प की आय = 6k और 7k
- बचत = प्रत्येक की ₹66,000
- व्यय = आय – बचत ⇒ (6k – 66000) और (7k – 66000)
- चरण 2: समीकरण हल करना
- व्यय का अनुपात = 2 : 4 (या 1 : 2)
- (6k – 66000) / (7k – 66000) = 2 / 4 = 1 / 2
- 2(6k – 66000) = 1(7k – 66000)
- 12k – 132000 = 7k – 66000
- 12k – 7k = 132000 – 66000 ⇒ 5k = 66000 ⇒ k = 13200
- चरण 3: तुषार की मासिक आय
- तुषार की आय = 6k = 6 × 13200 = ₹79,200
- महत्वपूर्ण नियम:
- जब दो व्यक्तियों की बचत समान हो, तो उनके अनुपात के अंतर को संतुलित करके ‘k’ का मान निकाला जाता है।
चार कक्षाओं में लड़कों और लड़कियों का अनुपात क्रमशः 4 : 5, 3 : 2, 6 : 5 और 5 : 6 है। किस कक्षा में लड़कों का अनुपात अधिक है? (19/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- द्वितीय कक्षा (3 : 2)
- तृतीय कक्षा (6 : 5)
- प्रथम कक्षा (4 : 5)
- चौथी कक्षा (5 : 6)
Explanation:
- चरण 1: भिन्नों (दशमलव) में बदलना
- प्रथम कक्षा (4 : 5) = 4 / 5 = 0.80
- द्वितीय कक्षा (3 : 2) = 3 / 2 = 1.50
- तृतीय कक्षा (6 : 5) = 6 / 5 = 1.20
- चौथी कक्षा (5 : 6) = 5 / 6 ≈ 0.833
- चरण 2: तुलना करना
- स्पष्ट है कि 1.50 सबसे बड़ा मान है, जो कि द्वितीय कक्षा (3 : 2) का है।
- अतः सही उत्तर द्वितीय कक्षा (3 : 2) है।
- अनुपात तुलना नियम:
- जिस अनुपात में अंश (Numerator), हर (Denominator) से बड़ा होता है या मान 1 से अधिक होता है, वह अनुपात सबसे बड़ा होता है।
दो संख्याएं A और B इस प्रकार हैं कि A के 10% और B के 20% का योगफल, A के 20% और B के 10% के योगफल के तीन-चौथाई के बराबर है। A और B का अनुपात ज्ञात कीजिए। (24/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 2 : 5
- 5 : 3
- 5 : 2
- 3 : 5
Explanation:
- चरण 1: समीकरण बनाना
- प्रश्नानुसार: 10% of A + 20% of B = $\frac{3}{4}$ (20% of A + 10% of B)
- 0.10A + 0.20B = $\frac{3}{4}$ (0.20A + 0.10B)
- चरण 2: समीकरण को सरल करना
- दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर: 10A + 20B = $\frac{3}{4}$ (20A + 10B)
- 4(10A + 20B) = 3(20A + 10B)
- 40A + 80B = 60A + 30B
- 80B – 30B = 60A – 40A
- 50B = 20A
- $\frac{A}{B}$ = $\frac{50}{20}$ = $\frac{5}{2}$
- अतः A : B = 5 : 2
- बीजगणितीय नियम:
- प्रतिशत समीकरणों को साधारण भिन्नों या गुणांकों में बदलकर ‘A’ और ‘B’ के पदों को एक तरफ करने से अनुपात आसानी से निकल जाता है।
P, Q और R प्रकार की प्रत्येक वस्तु की कीमत क्रमशः ₹280, ₹180 और ₹120 है। सुब्रता प्रत्येक प्रकार की वस्तुएँ 3 : 2 : 3 के अनुपात में ₹6,240 में खरीदता है। उसने Q प्रकार की कितनी वस्तुएँ खरीदी? (22/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 16
- 8
- 14
- 5
Explanation:
- चरण 1: वस्तुओं की संख्या मानना
- माना वस्तुएँ क्रमशः 3k, 2k और 3k हैं।
- चरण 2: कुल लागत समीकरण बनाना
- कुल मूल्य = (3k × 280) + (2k × 180) + (3k × 120)
- कुल मूल्य = 840k + 360k + 360k = 1560k
- प्रश्नानुसार, 1560k = 6240 ⇒ k = 6240 / 1560 = 4
- चरण 3: Q प्रकार की वस्तुएँ ज्ञात करना
- Q प्रकार की वस्तुएँ = 2k = 2 × 4 = 8 वस्तुएँ
- व्यावहारिक गणित तथ्य:
- क्रय मूल्य = (वस्तुओं की संख्या) × (प्रति वस्तु मूल्य)
यदि 2820 को दो भागों में इस प्रकार बांटा जाए कि पहले भाग का 1/5 भाग और दूसरे भाग का 1/8 भाग का अनुपात 3 : 4 हो, तो पहले भाग और दूसरे भाग का अनुपात कितना होगा? (22/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 18 : 19
- 15 : 32
- 15 : 37
- 17 : 36
Explanation:
- चरण 1: समीकरण बनाना
- माना पहला भाग = x और दूसरा भाग = y है।
- प्रश्नानुसार: ($\frac{x}{5}$) : ($\frac{y}{8}$) = 3 : 4
- $\frac{x/5}{y/8}$ = $\frac{3}{4}$ ⇒ $\frac{8x}{5y}$ = $\frac{3}{4}$
- चरण 2: x और y का अनुपात निकालना
- $\frac{x}{y}$ = $\frac{3 \times 5}{4 \times 8}$ = $\frac{15}{32}$
- अतः पहले और दूसरे भाग का अनुपात = 15 : 32
- महत्वपूर्ण नियम:
- भिन्नों के अनुपात को सरल करते समय क्रस-मल्टीप्लिकेशन (Vajra Gunana) का उपयोग किया जाता है। कुल योग (2820) इस प्रश्न में अतिरिक्त जानकारी है जिसकी सीधे अनुपात निकालने के लिए आवश्यकता नहीं है।
P, Q और R प्रकार की वस्तुओं की कीमतें क्रमशः ₹280, ₹180 और ₹120 हैं। तेजस इन वस्तुओं को 3 : 2 : 5 के अनुपात में कुल ₹12,600 में खरीदता है। वह Q प्रकार की कितनी वस्तुएँ खरीदता है? (22/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 15
- 14
- 7
- 13
Explanation:
- चरण 1: वस्तुओं की संख्या मानना
- माना खरीदी गई वस्तुएँ 3k, 2k और 5k हैं।
- चरण 2: कुल लागत निकालना
- कुल मूल्य = (3k × 280) + (2k × 180) + (5k × 120)
- कुल मूल्य = 840k + 360k + 600k = 1800k
- प्रश्नानुसार, 1800k = 12600 ⇒ k = 12600 / 1800 = 7
- चरण 3: Q प्रकार की वस्तुएँ
- Q प्रकार की वस्तुएँ = 2k = 2 × 7 = 14 वस्तुएँ
- अनुपात नियम:
- ‘k’ का सटीक मान ज्ञात करने के बाद उसे वांछित पद से गुणा करके सही संख्या प्राप्त की जाती है।
दो मित्रों, विपुल और विजय, की मासिक आय का अनुपात क्रमशः 6 : 7 है और उनमें से प्रत्येक प्रति माह ₹66,000 की बचत करता है। यदि उनके मासिक व्यय का अनुपात 1 : 3 है, तो विपुल की मासिक आय (₹ में) ज्ञात कीजिए। (25/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 71,000
- 72,000
- 1,00,800
- 73,000
Explanation:
- चरण 1: आय और व्यय मानना
- विपुल और विजय की आय = 6k और 7k
- बचत = ₹66,000 प्रत्येक की
- व्यय = आय – बचत ⇒ (6k – 66000) और (7k – 66000)
- चरण 2: समीकरण हल करना
- व्यय का अनुपात = 1 : 3
- $\frac{6k – 66000}{7k – 66000}$ = $\frac{1}{3}$
- 3(6k – 66000) = 1(7k – 66000)
- 18k – 198000 = 7k – 66000
- 18k – 7k = 198000 – 66000 ⇒ 11k = 132000 ⇒ k = 12000
- चरण 3: विपुल की मासिक आय
- विपुल की आय = 6k = 6 × 12000 = ₹72,000
- आय-व्यय का सूत्र:
- आय – बचत = व्यय। जब दो व्यक्तियों की बचत समान हो, तो क्रस-मल्टीप्लिकेशन विधि से समीकरण को तेजी से हल किया जा सकता है।
दो मित्रों मोहन और डेविड की मासिक आय का अनुपात क्रमशः 6 : 7 है और दोनों प्रत्येक माह ₹69,000 (प्रत्येक) की बचत करते हैं। यदि उनके मासिक व्यय का अनुपात 2 : 3 है, तो मोहन की मासिक आय (₹ में) ज्ञात कीजिए। (18/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 1,03,500
- 1,04,500
- 1,44,900
- 1,02,500
Explanation:
- चरण 1: आय और व्यय मानना
- मोहन और डेविड की आय = 6k और 7k
- बचत = ₹69,000 प्रत्येक की
- व्यय का अनुपात = 2 : 3
- चरण 2: समीकरण हल करना
- $\frac{6k – 69000}{7k – 69000}$ = $\frac{2}{3}$
- 3(6k – 69000) = 2(7k – 69000)
- 18k – 207000 = 14k – 138000
- 18k – 14k = 207000 – 138000 ⇒ 4k = 69000 ⇒ k = 17250
- चरण 3: मोहन की मासिक आय
- मोहन की आय = 6k = 6 × 17250 = ₹1,03,500
- शॉर्टकट विधि:
- चूँकि मोहन की आय 6 का गुणज है, आप विकल्पों में सीधे देख सकते हैं कि कौन सी संख्या 6 से पूरी तरह विभाजित होती है। 1,03,500 को 6 से भाग देने पर पूर्णांक मान प्राप्त होता है।
किसी संख्या में 25% की वृद्धि करने पर वह एक ऐसी संख्या के बराबर हो जाती है जो तीसरी संख्या से 20% कम है। पहली संख्या और तीसरी संख्या का अनुपात ज्ञात कीजिए। (16/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 9:16
- 25:36
- 16:25
- 27:38
Explanation:
- चरण 1: समीकरण बनाना
- माना पहली संख्या = x और तीसरी संख्या = z है।
- प्रश्नानुसार: x का (100 + 25)% = z का (100 – 20)%
- 125% of x = 80% of z
- $\frac{125}{100}x$ = $\frac{80}{100}z$
- $\frac{5}{4}x$ = $\frac{4}{5}z$
- चरण 2: अनुपात ज्ञात करना
- $\frac{x}{z}$ = $\frac{4}{5} \times \frac{4}{5}$ = $\frac{16}{25}$
- अतः पहली और तीसरी संख्या का अनुपात = 16 : 25
- प्रतिशत अनुपात नियम:
- वृद्धि या कमी वाले मानों को सीधे प्रतिशत में लिखकर समीकरण बनाने से गलती की गुंजाइश खत्म हो जाती है।
एक विद्यालय में प्रशिक्षित और अप्रशिक्षित शिक्षकों को 5 : 3 के अनुपात में नियुक्त किया जाता है। प्रशिक्षित और अप्रशिक्षित शिक्षकों का वेतन 4 : 1 के अनुपात में है। यदि एक महीने में सभी शिक्षकों को भुगतान किया गया कुल वेतन ₹4,60,000 है, तो अप्रशिक्षित शिक्षकों को कुल कितना वेतन भुगतान किया गया है? (19/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- ₹45,000
- ₹1,20,000
- ₹60,000
- ₹75,000
Explanation:
- चरण 1: शिक्षकों की संख्या और वेतन मानना
- प्रशिक्षित शिक्षकों की संख्या = 5x, अप्रशिक्षित शिक्षकों की संख्या = 3x
- प्रशिक्षित शिक्षक का प्रति व्यक्ति वेतन = 4y, अप्रशिक्षित शिक्षक का प्रति व्यक्ति वेतन = 1y
- चरण 2: कुल वेतन की गणना करना
- प्रशिक्षित शिक्षकों का कुल वेतन = (5x) × (4y) = 20xy
- अप्रशिक्षित शिक्षकों का कुल वेतन = (3x) × (1y) = 3xy
- कुल वेतन = 20xy + 3xy = 23xy
- प्रश्नानुसार, कुल वेतन = ₹4,60,000
- 23xy = 460000 ⇒ xy = $\frac{460000}{23}$ = 20000
- चरण 3: अप्रशिक्षित शिक्षकों का कुल वेतन निकालना
- अप्रशिक्षित शिक्षकों का कुल वेतन = 3xy = 3 × 20000 = ₹60,000
- मिश्र अनुपात नियम:
- कुल खर्च या वेतन निकालने के लिए (व्यक्तियों की संख्या × प्रति व्यक्ति मान) का गुणनफल किया जाता है।
A और B की मासिक आय का अनुपात 4 : 5 है, और उनके मासिक व्यय का अनुपात 3 : 4 है। A, ₹10,000 की बचत करता है जबकि B, ₹12,000 की बचत करता है। A की मासिक आय (₹ में) ज्ञात कीजिए। (17/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 14,000
- 16,000
- 15,000
- 13,000
Explanation:
- चरण 1: आय और व्यय मानना
- A और B की आय = 4x और 5x
- A की बचत = ₹10,000, अतः A का व्यय = 4x – 10000
- B की बचत = ₹12,000, अतः B का व्यय = 5x – 12000
- चरण 2: समीकरण हल करना
- व्यय का अनुपात = 3 : 4
- $\frac{4x – 10000}{5x – 12000}$ = $\frac{3}{4}$
- 4(4x – 10000) = 3(5x – 12000)
- 16x – 40000 = 15x – 36000
- 16x – 15x = 40000 – 36000 ⇒ x = 4000
- चरण 3: A की मासिक आय निकालना
- A की आय = 4x = 4 × 4000 = ₹16,000
- आय-व्यय का नियम:
- जब बचत अलग-अलग दी गई हो, तो वज्र-गुणन (Cross-Multiplication) विधि से समीकरण बनाकर ‘x’ का मान निकाला जाता है।
वर्तमान में, वनराज की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी है और उसकी पुत्री उसके पुत्र से 3 वर्ष छोटी है। यदि 3 वर्ष पूर्व इन तीनों व्यक्तियों की आयु का योगफल 93 वर्ष था, तो वनराज की वर्तमान आयु (वर्षों में) क्या है? (19/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 49
- 39
- 63
- 44
Explanation:
- चरण 1: वर्तमान आयु मानना
- माना पुत्र की वर्तमान आयु = x वर्ष
- वनराज की वर्तमान आयु = 3x वर्ष (पुत्र की तीन गुनी)
- पुत्री की वर्तमान आयु = (x – 3) वर्ष
- चरण 2: 3 वर्ष पूर्व की आयु
- 3 वर्ष पूर्व पुत्र की आयु = x – 3
- 3 वर्ष पूर्व वनराज की आयु = 3x – 3
- 3 वर्ष पूर्व पुत्री की आयु = (x – 3) – 3 = x – 6
- चरण 3: समीकरण बनाना और हल करना
- इन तीनों की 3 वर्ष पूर्व की आयु का योग = 93
- (x – 3) + (3x – 3) + (x – 6) = 93
- 5x – 12 = 93 ⇒ 5x = 105 ⇒ x = 21
- चरण 4: वनराज की वर्तमान आयु
- वनराज की वर्तमान आयु = 3x = 3 × 21 = 63 वर्ष
- आयु संबंधी नियम:
- भविष्य या भूतकाल में जाने के लिए आयु में क्रमशः जोड़ा या घटाया जाता है।
यदि 3 : 27 :: 5.6 : x और 5 : 35 :: 6 : y है, तो x और y का अनुपात ज्ञात कीजिए। (27/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 7 : 3
- 6 : 5
- 4 : 6
- 11 : 15
Explanation:
- चरण 1: x का मान ज्ञात करना
- 3 : 27 :: 5.6 : x
- $\frac{3}{27}$ = $\frac{5.6}{x}$ ⇒ $\frac{1}{9}$ = $\frac{5.6}{x}$
- x = 5.6 × 9 = 50.4
- चरण 2: y का मान ज्ञात करना
- 5 : 35 :: 6 : y
- $\frac{5}{35}$ = $\frac{6}{y}$ ⇒ $\frac{1}{7}$ = $\frac{6}{y}$
- y = 6 × 7 = 42
- चरण 3: x और y का अनुपात निकालना
- x : y = 50.4 : 42
- दोनों को 8.4 से विभाजित करने पर: 50.4 / 8.4 = 6, और 42 / 8.4 = 5
- अतः x : y = 6 : 5
- समानुपात का नियम:
- बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल (ad = bc)।
दिए गए अनुपातों में से कौन-सा अनुपात, सबसे बड़ा है? 3 : 17, 13 : 67, 10 : 37 और 5 : 9 (24/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 13 : 67
- 5 : 9
- 10 : 37
- 3 : 17
Explanation:
- चरण 1: भिन्नों (दशमलव) में बदलना
- 3 / 17 ≈ 0.176
- 13 / 67 ≈ 0.194
- 10 / 37 ≈ 0.270
- 5 / 9 ≈ 0.555
- चरण 2: तुलना करना
- स्पष्ट है कि 0.555 सबसे बड़ा मान है, जो कि 5 : 9 का मान है।
- अनुपात तुलना नियम:
- अंश को हर से भाग देकर दशमलव मान निकालने से सबसे बड़े या सबसे छोटे अनुपात की तुरंत पहचान हो जाती है।
यदि 7 : 63 :: 6.5 : x और 7 : 42 :: 4 : y है, तो x और y का अनुपात ज्ञात कीजिए। (18/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 43 : 26
- 37 : 17
- 39 : 16
- 40 : 14
Explanation:
- चरण 1: x का मान निकालना
- 7 : 63 :: 6.5 : x ⇒ $\frac{7}{63}$ = $\frac{6.5}{x}$
- $\frac{1}{9}$ = $\frac{6.5}{x}$ ⇒ x = 6.5 × 9 = 58.5
- चरण 2: y का मान निकालना
- 7 : 42 :: 4 : y ⇒ $\frac{7}{42}$ = $\frac{4}{y}$
- $\frac{1}{6}$ = $\frac{4}{y}$ ⇒ y = 4 × 6 = 24
- चरण 3: x : y ज्ञात करना
- x : y = 58.5 : 24
- दशमलव हटाने के लिए दोनों को 2 से गुणा करें: 117 : 48
- 3 से सरल करने पर: 117 / 3 = 39, और 48 / 3 = 16
- अतः x : y = 39 : 16
- समानुपात का नियम:
- समानुपात के पदों में अंश और हर को सरल करके मान निकाला जाता है।
यदि a : b : c = 3 : 4 : 5 और 2a – 3b + 4c = 56 है, तो c का मान ज्ञात कीजिए। (17/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 20
- 22
- 21
- 24
Explanation:
- चरण 1: मान मानना
- माना a = 3k, b = 4k, और c = 5k
- चरण 2: समीकरण में मान रखना
- 2(3k) – 3(4k) + 4(5k) = 56
- 6k – 12k + 20k = 56
- 14k = 56 ⇒ k = $\frac{56}{14}$ = 4
- चरण 3: c का मान निकालना
- c = 5k = 5 × 4 = 20
- अनुपात मान नियम:
- जब अनुपातों के साथ कोई रैखिक समीकरण दिया हो, तो ‘k’ का मान निकालकर किसी भी चर का मान आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
एक शिक्षक को 300 विद्यार्थियों को तीन समूहों में विभाजित करना है इस प्रकार कि दूसरे और तीसरे समूह में विद्यार्थियों का अनुपात 3 : 7 हो तथा पहले और तीसरे समूह में विद्यार्थियों का अनुपात 2 : 7 हो। निम्नलिखित में से दूसरे समूह में विद्यार्थियों की सही संख्या कौन-सी है? (27/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 88
- 72
- 75
- 64
Explanation:
- चरण 1: संयुक्त अनुपात (Combined Ratio) निकालना
- दूसरा : तीसरा = 3 : 7
- पहला : तीसरा = 2 : 7 (चूँकि तीसरे समूह का अनुपात दोनों में 7 है, इसलिए सीधे मिला सकते हैं)
- पहला : दूसरा : तीसरा = 2 : 3 : 7
- चरण 2: विद्यार्थियों की संख्या मानना
- समूहों के विद्यार्थी क्रमशः 2x, 3x और 7x हैं।
- कुल विद्यार्थी = 2x + 3x + 7x = 12x
- प्रश्नानुसार, कुल विद्यार्थी = 300
- 12x = 300 ⇒ x = $\frac{300}{12}$ = 25
- चरण 3: दूसरे समूह के विद्यार्थियों की संख्या
- दूसरा समूह = 3x = 3 × 25 = 75
- संयुक्त अनुपात नियम:
- जब किसी एक पद का अनुपात दोनों अनुपातों में समान हो, तो उन्हें सीधे जोड़कर संयुक्त अनुपात बनाया जा सकता है।
यदि a : b :: b : c; c = 4a; और b = 6 है, तो c का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए। (16/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 8
- 16
- 20
- 12
- 12
Explanation:
- चरण 1: समानुपात का नियम लगाना
- a : b :: b : c का अर्थ है कि b² = ac
- चरण 2: मान रखना
- दिया गया है: b = 6, और c = 4a ⇒ a = $\frac{c}{4}$
- b² = ac में मान रखने पर: 6² = ($\frac{c}{4}$) × c
- 36 = $\frac{c^2}{4}$
- c² = 36 × 4 = 144
- c = √144 = 12 (धनात्मक मान)
- समानुपात तथ्य:
- जब तीन संख्याएँ निरंतर समानुपात में होती हैं, तो मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है।
दो वाहनों की चाल 20 km/h और 45 km/h है। इन दोनों चालों के बीच माध्यानुपाती ज्ञात कीजिए। (17/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 30 km/h
- 25 km/h
- 32 km/h
- 35 km/h
Explanation:
- चरण 1: माध्यानुपाती (Mean Proportional) का सूत्र
- दो संख्याओं ‘a’ और ‘b’ का माध्यानुपाती = $\sqrt{a \times b}$
- चरण 2: मान रखना
- माध्यानुपाती = $\sqrt{20 \times 45}$ = $\sqrt{900}$ = 30 km/h
- महत्वपूर्ण सूत्र:
- माध्यानुपाती हमेशा दी गई दो राशियों के गुणनफल का वर्गमूल होता है।
यदि 8, x और 18 सतत अनुपात में हैं, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (22/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 18
- 14
- 12
- 8
Explanation:
- चरण 1: सतत अनुपात (Continued Proportion) का नियम
- यदि a, x, b सतत अनुपात में हैं, तो $x^2 = a \times b$ (या $\frac{8}{x} = \frac{x}{18}$)
- चरण 2: हल करना
- $x^2 = 8 \times 18 = 144$
- x = $\sqrt{144}$ = 12
- समानुपात नियम:
- सतत अनुपात में मध्य पद का वर्ग प्रथम और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर होता है।
9 : 81 :: 2.5 : x और 3 : 6 :: 5 : y है। x और y का अनुपात ज्ञात कीजिए। (18/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 10 : 2
- 13 : 14
- 9 : 4
- 5 : 3
Explanation:
- चरण 1: x का मान निकालना
- 9 : 81 :: 2.5 : x ⇒ $\frac{9}{81}$ = $\frac{2.5}{x}$
- $\frac{1}{9}$ = $\frac{2.5}{x}$ ⇒ x = 2.5 × 9 = 22.5
- चरण 2: y का मान निकालना
- 3 : 6 :: 5 : y ⇒ $\frac{3}{6}$ = $\frac{5}{y}$
- $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{y}$ ⇒ y = 5 × 2 = 10
- चरण 3: x : y ज्ञात करना
- x : y = 22.5 : 10
- दशमलव हटाने के लिए दोनों को 2 से गुणा करें: 45 : 20
- 5 से सरल करने पर: 45 / 5 = 9, और 20 / 5 = 4
- अतः x : y = 9 : 4
- समानुपात का नियम:
- बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल (ad = bc) का उपयोग करके सीधे मान निकाला जा सकता है।
एक कक्षा के दो सेक्शन A और B में लड़कों तथा लड़कियों का अनुपात समान है। सेक्शन A में 36 लड़के और 24 लड़कियां हैं। यदि सेक्शन B में 28 लड़कियां हैं, तो उस सेक्शन में कितने लड़के हैं? (17/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 48
- 40
- 45
- 42
Explanation:
- चरण 1: सेक्शन A का अनुपात निकालना
- लड़के : लड़कियां = 36 : 24 = 3 : 2
- चरण 2: सेक्शन B में लड़कों की संख्या ज्ञात करना
- चूँकि दोनों सेक्शन में अनुपात समान (3 : 2) है, अतः सेक्शन B के लिए:
- लड़के / लड़कियां = 3 / 2
- लड़के / 28 = 3 / 2 ⇒ लड़के = $\frac{3 \times 28}{2}$ = 3 × 14 = 42
- समानुपात नियम:
- जब दो समूहों में अनुपात समान हो, तो उनके पदों को समान रखकर अज्ञात राशि निकाली जाती है।
15 और 72.6 का माध्यानुपाती ज्ञात कीजिए। (27/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 33
- 36
- 33
- 28
Explanation:
- चरण 1: माध्यानुपाती (Mean Proportional) का सूत्र
- माध्यानुपाती = $\sqrt{a \times b}$
- चरण 2: मान रखना और हल करना
- माध्यानुपाती = $\sqrt{15 \times 72.6}$ = $\sqrt{1089}$ = 33
- महत्वपूर्ण सूत्र:
- दो संख्याओं का माध्यानुपाती उनके गुणनफल का वर्गमूल होता है। यहाँ 1089 का वर्गमूल 33 होता है।
यदि x और 36 के बीच माध्यामुपाती 18 है, तो x का मान कितना है? (25/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 12
- 18
- 9
- 6
Explanation:
- चरण 1: सूत्र का प्रयोग करना
- माध्यानुपाती = $\sqrt{x \times 36}$ = 18
- चरण 2: दोनों पक्षों का वर्ग करना
- $x \times 36 = 18^2$
- $36x = 324$
- x = $\frac{324}{36}$ = 9
- समानुपात नियम:
- यदि माध्यानुपाती दिया हो और एक संख्या ज्ञात करनी हो, तो दोनों पक्षों का वर्ग करके समीकरण हल किया जाता है।
A और B की आयु का अनुपात 5 : 8 है। 6 वर्ष के बाद, अनुपात 3 : 4 हो जाता है। A की वर्तमान आयु कितनी है? (24/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 9 वर्ष
- 9.7 वर्ष
- 7.5 वर्ष
- 11 वर्ष
Explanation:
- चरण 1: वर्तमान आयु मानना
- A और B की वर्तमान आयु = 5x और 8x
- चरण 2: 6 वर्ष पश्चात की आयु और समीकरण
- 6 वर्ष बाद A की आयु = 5x + 6
- 6 वर्ष बाद B की आयु = 8x + 6
- $\frac{5x + 6}{8x + 6}$ = $\frac{3}{4}$
- चरण 3: हल करना
- 4(5x + 6) = 3(8x + 6)
- 20x + 24 = 24x + 18
- 24 – 18 = 24x – 20x ⇒ 4x = 6 ⇒ x = $\frac{6}{4}$ = 1.5
- चरण 4: A की वर्तमान आयु निकालना
- A की वर्तमान आयु = 5x = 5 × 1.5 = 7.5 वर्ष
- आयु संबंधी नियम:
- अनुपात में ‘x’ मानकर समीकरण बनाने से आयु के ऐसे प्रश्न आसानी से हल हो जाते हैं।
एक रेसिपी में 4 भाग आटे के लिए 3 भाग चीनी की आवश्यकता होती है। अगर एक बेकर 12 कप चीनी का उपयोग करता है, तो उसे समान अनुपात बनाए रखने के लिए कितने कप आटे की आवश्यकता होगी? (17/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 16
- 15
- 18
- 14
Explanation:
- चरण 1: अनुपात लिखना
- आटा : चीनी = 4 : 3
- चरण 2: समीकरण बनाना
- माना आवश्यक आटे के कप = x
- $\frac{\text{आटा}}{\text{चीनी}}$ = $\frac{4}{3}$ = $\frac{x}{12}$
- चरण 3: हल करना
- $3x = 4 \times 12$ = 48
- x = $\frac{48}{3}$ = 16 कप
- समानुपात नियम:
- समानुपात बनाए रखने के लिए दोनों मात्राओं को एक ही भिन्न के रूप में बराबर रखा जाता है।
एक बैग में ₹1, ₹2, और ₹5 के सिक्के 8 : 4 : 3 के अनुपात में हैं। यदि सिक्कों की कुल कीमत ₹930 है, तो बैग में सिक्कों की कुल संख्या कितनी है? (22/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 400
- 450
- 420
- 480
Explanation:
- चरण 1: सिक्कों की संख्या मानना
- ₹1, ₹2 और ₹5 के सिक्कों की संख्या क्रमशः 8x, 4x और 3x है।
- चरण 2: कुल मूल्य निकालना
- ₹1 के सिक्कों का कुल मूल्य = 8x × 1 = 8x
- ₹2 के सिक्कों का कुल मूल्य = 4x × 2 = 8x
- ₹5 के सिक्कों का कुल मूल्य = 3x × 5 = 15x
- कुल मूल्य = 8x + 8x + 15x = 31x
- चरण 3: x का मान ज्ञात करना
- प्रश्नानुसार, कुल मूल्य = ₹930
- 31x = 930 ⇒ x = $\frac{930}{31}$ = 30
- चरण 4: सिक्कों की कुल संख्या निकालना
- सिक्कों की कुल संख्या = 8x + 4x + 3x = 15x
- कुल सिक्के = 15 × 30 = 450
- सिक्के आधारित प्रश्न नियम:
- सिक्कों की संख्या को उनके मूल्य (Denomination) से गुणा करके कुल कीमत का समीकरण बनाया जाता है।
संख्या 16 और 24 का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए। (16/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 40
- 36
- 32
- 30
Explanation:
- चरण 1: तृतीयानुपाती (Third Proportional) का सूत्र
- यदि a और b दो संख्याएँ हों, तो तृतीयानुपाती = $\frac{b^2}{a}$
- चरण 2: मान रखना और हल करना
- यहाँ a = 16 और b = 24 है।
- तृतीयानुपाती = $\frac{24^2}{16}$ = $\frac{576}{16}$ = 36
- महत्वपूर्ण सूत्र:
- यदि a, b, c सतत समानुपात में हों, तो $b^2 = ac$, जिससे $c = \frac{b^2}{a}$ प्राप्त होता है।
आयुषी और अनमोल की वर्तमान आयु का अनुपात क्रमशः 2 : 3 है। 6 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 8 : 9 होगा। उनकी वर्तमान आयु में धनात्मक अंतर (वर्षों में) ज्ञात कीजिए। (27/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 19
- 11
- 12
- 1
Explanation:
- चरण 1: वर्तमान आयु मानना
- आयुषी और अनमोल की वर्तमान आयु = 2x और 3x
- चरण 2: 6 वर्ष बाद का अनुपात
- $\frac{2x + 6}{3x + 6}$ = $\frac{8}{9}$
- चरण 3: हल करना
- $9(2x + 6) = 8(3x + 6)$
- $18x + 54 = 24x + 48$
- $54 – 48 = 24x – 18x$ ⇒ $6x = 6$ ⇒ $x = 1$
- चरण 4: आयु में धनात्मक अंतर निकालना
- वर्तमान आयु: आयुषी = 2(1) = 2 वर्ष, अनमोल = 3(1) = 3 वर्ष
- अंतर = 3 – 2 = 1 वर्ष
- आयु संबंधी नियम:
- दो व्यक्तियों की आयु का अनुपात निकालने के बाद उनका अंतर सीधे उनके ‘x’ के अंतर से भी निकाला जा सकता है (3x – 2x = x = 1)।
425 और 17 का माध्यानुपाती ज्ञात कीजिए। (18/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 85
- 95
- 75
- 65
Explanation:
- चरण 1: सूत्र का प्रयोग करना
- माध्यानुपाती = $\sqrt{a \times b}$
- चरण 2: मान रखना और हल करना
- माध्यानुपाती = $\sqrt{425 \times 17}$ = $\sqrt{25 \times 17 \times 17}$ = $5 \times 17$ = 85
- महत्वपूर्ण तथ्य:
- बड़ी संख्याओं के गुणनखंड करके वर्गमूल आसानी से निकाला जा सकता है (425 = 25 × 17)।
एक स्कूल में 9,632 विद्यार्थी हैं तथा स्कूल में लड़कों और लड़कियों की संख्या का अनुपात 17 : 11 है, तो स्कूल में लड़कों की संख्या ज्ञात कीजिए। (18/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 5,848
- 5,831
- 5,851
- 5,828
Explanation:
- चरण 1: विद्यार्थियों की संख्या मानना
- लड़के = 17x, लड़कियां = 11x
- कुल विद्यार्थी = 17x + 11x = 28x
- चरण 2: x का मान निकालना
- प्रश्नानुसार, कुल विद्यार्थी = 9,632
- 28x = 9632 ⇒ x = $\frac{9632}{28}$ = 344
- चरण 3: लड़कों की संख्या ज्ञात करना
- लड़कों की संख्या = 17x = 17 × 344 = 5,848
- अनुपात वितरण नियम:
- कुल मान को अनुपात के कुल योग से विभाजित करके ‘x’ का मान निकाला जाता है।
18 और 128 का माध्यानुपात कितना है? (27/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 50
- 49
- 51
- 48
Explanation:
- चरण 1: सूत्र का प्रयोग
- माध्यानुपाती = $\sqrt{18 \times 128}$
- चरण 2: गुणनखंड करना
- $18 = 9 \times 2$
- $128 = 64 \times 2$
- माध्यानुपाती = $\sqrt{9 \times 2 \times 64 \times 2}$ = $\sqrt{9 \times 64 \times 4}$ = $3 \times 8 \times 2$ = 48
- गणितीय नियम:
- बड़ी संख्या का गुणा करने के बजाय अभाज्य गुणनखंड (Prime Factors) बनाने से वर्गमूल तुरंत निकल जाता है।
10, 80, 30 के चतुर्थानुपाती और 7, 28, 19 के चतुर्थानुपाती का अनुपात कितना होगा? (18/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 29:26
- 60:19
- 10:7
- 30:19
Explanation:
- चरण 1: पहले समूह (10, 80, 30) का चतुर्थानुपाती ज्ञात करना
- मान लीजिए चतुर्थानुपाती $x$ है। $\frac{10}{80} = \frac{30}{x}$ ⇒ $10x = 2400$ ⇒ $x = 240$
- चरण 2: दूसरे समूह (7, 28, 19) का चतुर्थानुपाती ज्ञात करना
- मान लीजिए चतुर्थानुपाती $y$ है। $\frac{7}{28} = \frac{19}{y}$ ⇒ $\frac{1}{4} = \frac{19}{y}$ ⇒ $y = 76$
- चरण 3: दोनों का अनुपात निकालना
- अनुपात = $x : y = 240 : 76$
- 4 से सरल करने पर: $240 / 4 = 60$, और $76 / 4 = 19$
- अतः अनुपात = 60 : 19
- चतुर्थानुपाती सूत्र:
- यदि a, b, c दिए हों, तो चतुर्थानुपाती $d = \frac{bc}{a}$ होता है।
यदि 3A = 4B = 8C है, तो A : B : C क्या होगा? (25/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 6 : 3 : 8
- 8 : 6 : 3
- 8 : 4 : 3
- 6 : 8 : 3
Explanation:
- चरण 1: LCM विधि का प्रयोग करना
- गुणांकों (3, 4 और 8) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = 24
- चरण 2: प्रत्येक पद को LCM से विभाजित करना
- $\frac{3A}{24} = \frac{4B}{24} = \frac{8C}{24}$
- $\frac{A}{8} = \frac{B}{6} = \frac{C}{3}$
- अतः A : B : C = 8 : 6 : 3
- अनुपात शॉर्टकट नियम:
- यदि $pA = qB = rC$ हो, तो $A : B : C$ उनके गुणांकों के व्युत्क्रम (Reciprocal) या LCM विधि से निकाला जाता है।
यदि 4 : 28 :: 4.1 : x और 4 : 32 :: 3 : y है, तो x और y का अनुपात ज्ञात कीजिए। (16/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 287 : 240
- 285 : 241
- 288 : 238
- 291 : 250
Explanation:
- चरण 1: x का मान निकालना
- $\frac{4}{28} = \frac{4.1}{x}$ ⇒ $\frac{1}{7} = \frac{4.1}{x}$ ⇒ $x = 4.1 \times 7 = 28.7$
- चरण 2: y का मान निकालना
- $\frac{4}{32} = \frac{3}{y}$ ⇒ $\frac{1}{8} = \frac{3}{y}$ ⇒ $y = 3 \times 8 = 24$
- चरण 3: x और y का अनुपात निकालना
- $x : y = 28.7 : 24$
- दशमलव हटाने के लिए दोनों को 10 से गुणा करें: $287 : 240$
- अतः सही अनुपात 287 : 240 है।
- समानुपात नियम:
- बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल (ad = bc) से सीधे मान निकाले जाते हैं।
यदि A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 3 और C : D = 6 : 7 है, तो A : B : C : D ज्ञात कीजिए। (27/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 16 : 24 : 16 : 21
- 16 : 24 : 18 : 21
- 14 : 24 : 18 : 21
- 16 : 22 : 18 : 21
Explanation:
- चरण 1: मानों को बराबर करना (Bridging Ratios)
- A : B = 2 : 3
- B : C = 4 : 3 (चूँकि B का मान पहली स्थिति में 3 और दूसरी में 4 है, अतः B को 12 बनाते हैं)
- A : B = (2 × 4) : (3 × 4) = 8 : 12
- B : C = (4 × 3) : (3 × 3) = 12 : 9
- अतः A : B : C = 8 : 12 : 9
- चरण 2: C : D को शामिल करना
- C : D = 6 : 7 (चूँकि C का मान ऊपर 9 है, इसे बराबर करने के लिए 18 बनाते हैं)
- A : B : C = (8 : 12 : 9) को 2 से गुणा करें = 16 : 24 : 18
- C : D = (6 : 7) को 3 से गुणा करें = 18 : 21
- चरण 3: संयुक्त अनुपात लिखना
- A : B : C : D = 16 : 24 : 18 : 21
- संयुक्त अनुपात नियम:
- उभयनिष्ठ (Common) पद को समान बनाकर सभी अनुपातों को एक साथ जोड़ा जाता है।
7.2 और 20 के बीच माध्यामुपाती ज्ञात कीजिए। (25/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 10
- 11
- 8
- 12
Explanation:
- चरण 1: सूत्र का प्रयोग करना
- माध्यानुपाती = $\sqrt{7.2 \times 20}$
- चरण 2: हल करना
- $7.2 \times 20 = 144$
- माध्यानुपाती = $\sqrt{144}$ = 12
- महत्वपूर्ण सूत्र:
- माध्यानुपाती हमेशा दी गई दो संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल होता है।
यदि a : b = 1 : 3, b : c = 5 : 7 और c : d = 9 : 5 है, तो a : b : c : d का मान कितना होगा? (19/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 15 : 75 : 105 : 35
- 5 : 75 : 105 : 35
- 15 : 45 : 63 : 35
- 25 : 75 : 105 : 45
Explanation:
- चरण 1: उभयनिष्ठ पदों (Common Terms) को बराबर करना
- $a : b = 1 : 3$
- $b : c = 5 : 7$ (यहाँ $b$ को 15 बनाने के लिए पहले अनुपात को 5 से और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं)
- $a : b = (1 \times 5) : (3 \times 5) = 5 : 15$
- $b : c = (5 \times 3) : (7 \times 3) = 15 : 21$
- अतः $a : b : c = 5 : 15 : 21$
- चरण 2: c : d को शामिल करना
- $c : d = 9 : 5$ (यहाँ $c$ का मान 21 है, जिसे 9 और 21 के लघुत्तम समापवर्त्य 63 के बराबर करते हैं)
- $a : b : c = (5 : 15 : 21) \times 3 = 15 : 45 : 63$
- $c : d = (9 : 5) \times 7 = 63 : 35$
- चरण 3: संयुक्त अनुपात लिखना
- $a : b : c : d =$ 15 : 45 : 63 : 35
- संयुक्त अनुपात नियम:
- उभयनिष्ठ चरों के मान को बराबर करके सभी अनुपातों को एक श्रृंखला में जोड़ा जाता है।
यदि 4 : 12 :: 2.1 : x और 9 : 36 :: 8 : y है, तो x और y का अनुपात ज्ञात कीजिए। (24/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 63 : 320
- 61 : 321
- 67 : 330
- 64 : 318
Explanation:
- चरण 1: x का मान निकालना
- $\frac{4}{12} = \frac{2.1}{x}$ ⇒ $\frac{1}{3} = \frac{2.1}{x}$
- $x = 2.1 \times 3 = 6.3$
- चरण 2: y का मान निकालना
- $\frac{9}{36} = \frac{8}{y}$ ⇒ $\frac{1}{4} = \frac{8}{y}$
- $y = 8 \times 4 = 32$
- चरण 3: x और y का अनुपात निकालना
- $x : y = 6.3 : 32$
- दशमलव हटाने के लिए दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें: $63 : 320$
- अतः सही अनुपात 63 : 320 है।
- समानुपात नियम:
- बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल ($ad = bc$) का उपयोग करके मान निकाले जाते हैं।
9 और 25 के बीच माध्यानुपाती (mean proportional) ज्ञात कीजिए। (19/03/2026 12:45 PM – 2:15 PM)
- 18
- 21
- 12
- 15
Explanation:
- चरण 1: सूत्र का प्रयोग करना
- माध्यानुपाती = $\sqrt{a \times b}$
- चरण 2: मान रखना और हल करना
- माध्यानुपाती = $\sqrt{9 \times 25} = \sqrt{225} =$ 15
- महत्वपूर्ण सूत्र:
- दो संख्याओं का माध्यानुपाती हमेशा उनके गुणनफल का वर्गमूल होता है।
तीन संख्याओं का अनुपात 3 : 5 : 7 है। यदि सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याओं का योगफल 60 है, तो तीनों संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए। (17/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 90
- 70
- 100
- 120
Explanation:
- चरण 1: संख्याएँ मानना
- संख्याएँ क्रमशः $3x, 5x,$ और $7x$ हैं।
- सबसे छोटी संख्या = $3x$, सबसे बड़ी संख्या = $7x$
- चरण 2: समीकरण बनाना
- प्रश्नानुसार, सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का योग = 60
- $3x + 7x = 60 \implies 10x = 60 \implies x = 6$
- चरण 3: तीनों संख्याओं का योगफल निकालना
- तीनों संख्याओं का योग = $3x + 5x + 7x = 15x$
- कुल योग = $15 \times 6 =$ 90
- अनुपात नियम:
- अनुपातों के पदों को ‘x’ मानकर दी गई शर्त के अनुसार समीकरण हल किया जाता है।
दो व्यक्तियों, P और Q, की आयु का अनुपात 3 : 4 है। 6 वर्ष बाद, उनकी आयु का अनुपात 4 : 5 हो जाएगा। P की वर्तमान आयु कितनी है? (22/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 18 वर्ष
- 30 वर्ष
- 20 वर्ष
- 13 वर्ष
Explanation:
- चरण 1: वर्तमान आयु मानना
- P और Q की वर्तमान आयु = $3x$ और $4x$
- चरण 2: 6 वर्ष बाद का समीकरण बनाना
- $\frac{3x + 6}{4x + 6} = \frac{4}{5}$
- चरण 3: हल करना
- $5(3x + 6) = 4(4x + 6)$
- $15x + 30 = 16x + 24$
- $30 – 24 = 16x – 15x \implies x = 6$
- चरण 4: P की वर्तमान आयु निकालना
- P की वर्तमान आयु = $3x = 3 \times 6 =$ 18 वर्ष
- आयु संबंधी नियम:
- क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन विधि से ‘x’ का मान निकालकर वर्तमान आयु आसानी से ज्ञात की जाती है।
यदि a : b = 2 : 3 है, तो (7a³ − 2b³) : (b³ − a³) का मान ज्ञात कीजिए। (16/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 2 : 19
- 3 : 11
- 13 : 6
- 3 : 14
Explanation:
- चरण 1: मान प्रतिस्थापित करना
- दिया गया है $a : b = 2 : 3$, अतः $a = 2$ और $b = 3$ मान सकते हैं।
- चरण 2: व्यंजक में मान रखना
- पहला पद = $7a^3 – 2b^3 = 7(2^3) – 2(3^3) = 7(8) – 2(27) = 56 – 54 = 2$
- दूसरा पद = $b^3 – a^3 = 3^3 – 2^3 = 27 – 8 = 19$
- चरण 3: अनुपात निकालना
- अभीष्ट अनुपात = 2 : 19
- बीजीय अनुपात नियम:
- जब अनुपात दिया हो, तो सीधे अचर मानों को चर मान मानकर व्यंजक में रखकर हल किया जा सकता है।
A और B के वेतन का अनुपात 4 : 5 है। यदि A के वेतन में 20% की वृद्धि की जाए और B के वेतन में 10% की कमी की जाए, तो उनके वेतन का नया अनुपात क्या होगा? (19/03/2026 9:00 AM – 10:30 AM)
- 16 : 15
- 14 : 13
- 15 : 14
- 13 : 12
Explanation:
- चरण 1: वेतन मानना
- सुविधा के लिए A और B का वेतन क्रमशः ₹400 और ₹500 मान लेते हैं।
- चरण 2: वृद्धि और कमी की गणना करना
- A का नया वेतन (20% वृद्धि के बाद) = $400 \times \frac{120}{100} = 480$
- B का नया वेतन (10% कमी के बाद) = $500 \times \frac{90}{100} = 450$
- चरण 3: नया अनुपात निकालना
- नया अनुपात = $480 : 450$
- 30 से सरल करने पर: $480 / 30 = 16$, और $450 / 30 = 15$
- अतः नया अनुपात = 16 : 15
- प्रतिशत अनुपात नियम:
- शुरुआती मानों को 100 के गुणक (जैसे 400 और 500) मानने से प्रतिशत की गणना आसान हो जाती है।
यदि A और B की आयु का अनुपात 3 : 5 है, B और C की आयु का अनुपात 2 : 3 है, तथा C और D की आयु का अनुपात 3 : 4 है, तो A और D की आयु का अनुपात ज्ञात कीजिए। (24/03/2026 4:30 PM – 6:00 PM)
- 5 : 11
- 3 : 13
- 7 : 10
- 3 : 10
Explanation:
- चरण 1: श्रृंखला अनुपात (Chain Ratio) का नियम
- $A : B = 3 : 5$
- $B : C = 2 : 3$
- $C : D = 3 : 4$
- हमें केवल $A$ और $D$ का अनुपात चाहिए, जिसके लिए सीधा सूत्र है:
- $\frac{A}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D}$
- चरण 2: मान रखना और हल करना
- $\frac{A}{D} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$
- अंश और हर के समान पदों (जैसे 3) को काटने पर:
- $\frac{A}{D} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
- अतः $A : D =$ 3 : 10
- शॉर्टकट नियम:
- जब क्रमिक अनुपात दिए हों और पहले तथा अंतिम पद का अनुपात पूछा जाए, तो सभी अनुपातों को आपस में गुणा कर दिया जाता है।